好题速递260题
在正方体ABCD?A'B'C'D'中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足BP和AC'所成的角为45?的点P有 个．
解：如图，将正方体的各个顶点（除B点外）分类，规定当顶点与B的连线与直线AC'所成的角大于等于45?时为一类，小于45?时为一类。
显然AB,B'B,CB与AC'所成角的正切值为2，故大于45?
A'B,DB与AC'所成角的为90?，大于45?
D'B与AC'所成角的为60?，大于45? C'B与AC'所成角的正切值为2，小于45? 2当点P从B'运动到C'时，角度从大于45?变化到小于45?，一定经过一个点满足45?；依此类推，当点P在B'C',CC',D'C'上运动时，都经历过角度从小于45?到大于45?的变化，故满足条件的点共有3个。
点评：本题虽然是立体几何问题，但类似于函数的零点存在性定理（一上一下中间一点），角度的变化不会发生突变，故在变化的过程中一定存在一个临界点。这种思想在处理选择题时经常用到。
好题速递261题
在?ABC中，D是边AC上一点，AB?AC?6，AD?4，若?ABC的外心O恰在线段BD上，则BC? ．
解：设AO??AB??1???AD??AB?因为?ABC是等腰三角形，故??故有AO??????3????2???AB?AC 55????????????????????21????AC 322?1???，即??
53?????????????2????3?????????1再对上式两边同时与AB作数量积，有AO?AB??AB?AC??AB，得cosA?
45?5?故由余弦定理得BC2?AB2?AC2?2AB?ACcosA?54 即BC?36 点评：本题的一个难点在于从等腰三角形想到AO在AB,AC方向的分量一样，即系数一致求出?。其次还是向量与外心合作的老套路——点积转边长。
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????????????好题速递262题
已知平面?和?相交形成的四个二面角中的其中一个为60?，则在空间中过某定点P与这两个平面所成的线面角均为30?的直线l有 条．
解：设平面?和平面?过点P的法线（垂直于平面的直线）分别为m,n，则m,n?60? 而直线l与两个平面所成的线面角均为30?可转化为直线l与法线m,n所成的角均为60? 由“鸡爪定理”可知，直线l与法线m,n所成角为60?的直线有3条。 点评：平面的法向量是平面方向的代表。
“鸡爪定理”：如图，若直线m,n所成角为?，则与直线m,n所成角相同的直线l一定在直线m,n的角平分面??????????上，且该角的取值范围是?,?和?,?
?22??22????2 其中
????与就是直线l正好为直线m,n的两条角平22?就是垂直时取得。 2? 2分线时，
好题速递263题
已知向量a,b满足2a?3b?1，则a?b最大值为 。
2解法1：（方程构造法）构造方程?2a?3b??(2a?3b)?24a?b
2(2a?3b)2(2a?3b)21(2a?3b)211则a?b?，当且仅当2a?3b，且a?时，????24242424244上式等号成立．
22解法2：（不等式法）对于条件2a?3b?1，则有4a?9b?12ab?1，
22又因?2a?3b??0，则有4a?9b?12a?b，则12a?b?1?12a?b，
2因此a?b最大值为
1 24????????12a3b?OA，?OB，取AB的中点为M，OM?，对解法3：（极化恒等式法）设
2于?OAB，因?BOA可以变化，当?BOA趋向于0度时，MB趋向
于
B 0，而
OM?12，则
M
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O A
2a?3b?OA?OB?OM－MB?-0?，
因此a?b最大值为
?????????????2????214141 24好题速递264题
2已知过点A?0,1?，且斜率为k的直线l与圆C：?x?2??(y?3)?1相交于M,N两
2点．
?????????则AM?AN? ． 解法1：（普通方法）设直线l与圆的交点为M(x1,y1),N(x2,y2)， ?????????则AM?(x1,y1?1),AN?(x2,y2?1)，
2由直线y?kx?1与圆?x?2??(y?3)?1联立得1?k2x2?4(1?k)x?7?0，
2??12k2?4k?174(1?k)2,x1?x2?因此有x1x2?，y1y2?kx1x2?k?x1?x2??1?， 1?k21?k21?k2?????????6k2?4k?2y1?y2?k(x1?x2)?2?，因此可得AM?AN?x1x2?y1y2?(y1?y2)?1 21?k712k2?4k?16k2?4k?2????1?7 1?k21?k21?k2解法2：（极化恒等式）
如图所示，取MN的中点为G，则CG?MN，
yM ??????????????????2MN2????2?????2由极化恒等式可得AM?AN?AG??AG?MG
4????2????2?????2????2?AC?CG?(MC?CG)
G NC A ??O x ????2?????2????2?AC?MC?AC?1?8?1?7
点评：这里的极化恒等式并没有出现在三角形中，但仍然适用。其本质就是圆的切割线定理。
好题速递265题
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x2y2??1上经过原点的一条动弦，M为圆C：x2?(y?2)2?1上已知A,B为双曲线
164????????的一个动点，则MA?MB的最大值为 。
解法1：（普通方法）设M?x0,y0?，满足x02?(y0?2)2?1；
x12y12??1 设A?x1,y1?,B(?x1,?y1)，满足
164????????MA?(x1?x0,y1?y0)，MB?(?x1?x0,?y1?y0)，
yC 2 M B x ????????因此MA?MB?x02?x12?y02?y12?x02?y02?(x12?y12)
2221A O x1215?1?(y0?2)?y0?[x?(?1)?4]?1?4y0?x12，
416????????15152因此MA?MB的最大值为1?4?y0?max??x1?min?1?4?3??16??7
44解法2：（借助于极化恒等式）如图所示，O为A,B的中点， ?????????????2????2由极化恒等式可得MA?MB?MO?OA，
?????2????22而MOmax?(2?1)?9，OAmin?42，
?????????????2????2因此MA?MB的最大值为MOmax?OAmin?9?42??7
好题速递266题
在平面直角坐标系xOy中，A,B是x轴正半轴上的两个动点，P（异于原点）为y轴上一个定点，若以AB为直径的圆与圆x2??y?2?2?1相外切，且?APB的大小为定值，则OP? ．
解：设以AB为直径的圆的圆心为?t,0?，半径为r，则可设A?t?r,0?,B?t?r,0? 由两圆相外切得t2?4??r?1? 而tan?OPB?t?rt?r，tan?OPA? OPOPtan?OPB?tan?OPA2r?OP2r?OP ??1?tan?OPB?tan?OPAOP2?t2?r2OP2?2r?32tan?APB?tan??OPB??OPA??因为?APB是定值，所以tan?APB为常数，所以OP?3
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好题速递267题
已知等比数列?an?的公比q?1，其前n项和为Sn，若S4?2S2?1，则S6的最小值为 ．
解法1：从等比数列的基本量入手
a11?q41?q由S4?2S2?1得
???2a?1?q??1，得
121?qa11?4 1?q?q?2q2?142所以S6?a11?q61?q????q?1??q?q?1??q?q?1 ?q?1??q?1??q?1?1?q6224222223令q2?1?t，则S6?t??3?23?3
t当且仅当q2?3?1时取得等号。 解法2：从等比数列的性质入手
因为等比数列有性质：?S4?S2??S2??S6?S4? 将S4?2S2?1代入，得S6?3S2?1?3 S22又因为S4?2S2?1得a3?a4?a1?a2?1，即S2q2?1?1，因为q?1，所以S2?0 所以S6?3S2?
13?3?23?3，当且仅当S2?时取得等号。 S23??好题速递268题
已知?O:x2?y2?4，点M?4,0?，过原点的直线（不与x轴重合）与?O交于A,B两点，则?ABM的外接圆的面积的最小值为 ． 解：大值
设A?2cos?,2sin??，B??2cos?,?2sin??
????????MA??2cos??4,2sin??，MB???2cos??4,?2sin??
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AB?2R，要求外接圆的面积的最小值，即求R的最小值，即求sin?ABM的最
sin?ABM