?????????????????2AB2?16?4?12 由极化恒等式知MA?MB?MO?4故cos?ABM?1220?16cos??20?16cos??12400?256cos2??3 54故sin?ABM?
5所以2R?AB4525???5，所以R?，S?
sin?ABM4245
好题速递269题
已知数列?an?,?bn?的前n项和分别为Sn,Tn，记cn?an?Tn?bn?Sn?an?bn，若S2015?2015，T2015?2014，则数列?cn?的前2015项和为 ． 2015解：当n?1时，c1?a1?b1?S1?T1
当n?2时，cn??Sn?Sn?1??Tn??Tn?Tn?1??Sn??Sn?Sn?1???Tn?Tn?1??Sn?Tn?Sn?1?Tn?1
c1?c2?c3???cn?S1T1??S2T2?S1T1???S3T3?S2T2?????S2015T2015?S2014T2014??S2015T2015?2014
好题速递270题
钝角?ABC中，?2sinC?1?sin2A?sin2C?sin2B，则sin?A?B?? ． 解：由?2sinC?1?sin2A?sin2C?sin2B得2sin2A?sinC?sin2A?sin2C?sin2B sin2A?sin2C?sin2Ba2?c2?b2?????cosB?sin??B? 故sinA?2sinAsinC2ac?2?故A??2?B或A??2?B??
由于?ABC为钝角三角形，故A?B?
?2，所以sin?A?B??1
好题速递271题
在?ABC中，若tanAtanB?tanBtanC?tanCtanA，则cosC的最小值为 ． 解：常规思路“切化弦”
11
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sinAsinBsinBsinCsinAsinCsinC?sinAsinB?sinC?sinAcosB?sinBcosA??????????
cosAcosBcosBcosCcosAcosCcosC?cosAcosB?cosC?cosAcosB?sin2Cc2sinAsinB??ab?222?a2?b2?3c2
cosCa?b?c2aba2?b2?c2a2?b22cosC???
2ab3ab3
好题速递272题
在平面直角坐标系中，设A,B,C是圆x2?y2?1上相异的三点，若存在正实数?,?，使得????????????2OC??OA??OB，则?2????3?的取值范围是 ．
222222解：设A?x1,y1?,B?x2,y2?,C?x0,y0?，则x1?y1?1，x2?y2?1，x0?y0?1
????????????于是由OC??OA??OB得?x0,y0????x1,y1????x2,y2?
?x0??x1??x2故?，两式平方相加得1??2??2?2???x1x2?y1y2?， ?y0??y1??y21??2??2即x1x2?y1y2?
2??????????OB?cos????1,1? 又x1x2?y1y2?OA?故?2??2?2???1,?2??2?2???1
?????1?2即??1?????1，画出可行域如图，目标函数?2????3?视为可行域内的点到?0,3?的距离???0,??0??3?1?的平方，所以的最小值为d2????2
?2?2所以?2????3??2
2好题速递273题
若对于满足?1?t?3的一切实数t，不等式x2?(t2?t?3)x?t2(t?3)?0恒成立，则x的取值范围为 ．
12
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11解：原不等式化为(x?t2)[x?(t?3)]?0，∵t2?(t?3)?t2?t?3?(t?)2?3??0，
24∴x?t?3或x?t2， ∴x??t?3?min??4或x?t2??max?9
点评：本题常规的解法应该是将t视为主元，将x视为系数去解，但这个关于t的不等式是三次不等式，不好处理，所以本题的解法是将不等式因式分解后先化简，在转为恒成立问题。这个题目的解法也可以处理浙江省2012年高考题。
（2012浙江理17）设a?R，若x?0时，均有[(a?1)x?1](x2?ax?1)?0，则
a? ．
本题有很多解法前面已经介绍过，这里用本题采用的方法再来处理一次。
解：将[(a?1)x?1](x2?ax?1)?0视为关于a的二次不等式，即整理为
2?xa?x?1????xa??x?1???????0
x?1???1???因为x?0，故?a?a?x???????0，
xx??????当
x?11?x??x?2 xx1?x?111x?1??x?1?，所以?x???a???x?，则x??a??
x?maxxxxx??x?min当0?x?2时，
即
333?a?，即a? 2221?x?11x?11?x?1???a?x??x?，则?a?x?，所以????
x?minxxxx?x?max?当x?2时，
即
333?a?，即a? 2223 2综上，a?
好题速递274题
2y2x如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆2?2?1?a?b?0?被ab围于由4条直线x??a，y??b所围成的矩形ABCD内，任取椭圆上一点P，若OP?m?OA?n?OB(m、n?R)，则
B O C y A m2?n2? ．
????????????解：设P(x,y)，由OP?m?OA?n?OB
?(x,y)=m(a,b)+n(-a,b)=(am-an, bm+bn)
x D 13
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?x?m?n2y21x?a(m?n)?22x?a?????(m?n)?(m?n)?2?2?1?m2?n2?
ab2?y?b(m?n)?y?m?n?b
好题速递275题
若X是一个非空集合，M是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足： ① X?M、??M；
② 对于X的任意子集A、B，当A?M且B?M时，有A∪B?M； ③ 对于X的任意子集A、B，当A?M且B?M时，有A∩B?M； 则称M是集合X的一个“M集合类”
例如：M?{?,{b},{c},{b,c},{a,b,c}}是集合X?{a,b,c}的一个“M集合类”已知集合X?{a,b,c}，则所有含{b,c}的“M集合类”的个数为 ． 解：X?{a,b,c}的子集有8个，为：?,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}. M中必含?、{b,c}、{a,b,c}，另5个元素{a},{b},{c},{a,b},{a,c}再分配。 注意到{a,b}∩{b,c}={b}，{a,c}∩{b,c}={c}，{a,b}∩{a,c}={a}， 故若{a,b}在M中，则{b}也在M中， 若{a,c}在M中，则{c}也在M中，
若{a,b}与{a,c}在M中，则{a}也必在M中. 故对这5个元素在M中的搭配情况进行分类：
①5个都不取，即M0={?,{b,c},{a,b,c}}，1个； ②从{a}、{b}、{c}中各取一个充入M0，有3个；
③从{a,b}{b}、{a,c}{c}、{b}{c}中各取一个充入M0，有3个；
④从{a,b}{b}{a}、{a,b}{b}{c}、{a,c}{c}{a}、{a,c}{b}{c}中各取一个充入M0，有4个；
⑤把{a,b}{a,c}{a}{b}{c}充入M0，有1个； 故共有12个
好题速递276题
????????设a,b是非零向量，且a?b?1，a?3b?2，则a?2b的最大值是 ． ??????????u?v解法一：（代数角度运算）令a?b?u，a?3b?v，则a?2b?
2????u?v题目简化为u?1，v?2，求的最大值
2????2u?v3u?v1?4?4cos?9? ??，故2224414
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????解法二：（几何角度）画出a?b?1，a?3b?2的几何图
A a
2 b B M 2b
C 3b
????????形，即AB?1，AC?2，问题变为?ABC的两边分别为O
1和2，求中线AM的长度的最大值。
2AM?AB?AC?3（即构造平行四边形，发现三角形两边之和大于第三边，当构不成三角
形时取得等号），故AM?3 2B M A
C 解法三：（坐标角度）将?ABC画成如图形状，则点B在以A为圆心，1为半径的圆上运动，再求中线AM的最大值。
本题还可以建系设点做，设A?0,?0，C?2,0?，?cos?sin??B?cos?,sin??，M?1?,? 22??29?cos??sin?5??cos?? 则AM??1???2?444?22即AM?3 2点评：本题是一个向量的好题，妙在可以从代数、几何和坐标运算三种常见角度操作。 一般地，向量模长问题，平方就是代数运算，不平方是几何意义，必要时活用坐标建系。
好题速递277题
（须凌峰供题）在?ABC，?BAC?90?，以AB为一边向?ABC外作等边?ABD，若
????????????，AD??AB??AC，则???? ． ?BCD?2?ACD解：注意到又是求向量系数之和，故可以用三点共线来做。 如图，延长DA与BC交于E
????????????则AE?xAB?yAC，且x?y?1 ????????????????AD?mAE?mxAB?myAC
????AD故????m??????
AEB D F A C 设AB?2，AC?a，?ACD??， 则tan??13?a，tan3??2 aE 15
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