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直线和圆锥曲线经常考查的一些题型 ..................................................................................................................... 2
题型一数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 .......................................................................................... 3 题型二：弦的垂直平分线问题 ......................................................................................................................... 4 题型三：动弦过定点的问题 ............................................................................................................................. 9 题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 ....................................................................................................... 14 题型五：共线向量问题 ................................................................................................................................... 19 题型六：面积问题 ........................................................................................................................................... 28 题型七：弦或弦长为定值问题 ....................................................................................................................... 34 题型八：角度问题 ........................................................................................................................................... 39 问题九：四点共线问题 ................................................................................................................................... 47 问题十：范围问题（本质是函数问题） ....................................................................................................... 50 问题十一、存在性问题： ............................................................................................................................... 56
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直线和圆锥曲线经常考查的一些题型
解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是： （1）直线的斜率不存在，直线的斜率存在， （2）联立直线和曲线的方程组； （3）讨论类一元二次方程 （4）一元二次方程的判别式 （5）韦达定理，同类坐标变换 （6）同点纵横坐标变换 （7）x，y，k (斜率)的取值范围
（8）目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等 运用的知识： 1、中点坐标公式：x?x1?x2y?y2,y?1，其中x,y是点A?x1,y1?,B?x2,y2?的中点坐标。 222、弦长公式：若点A(x1,y1)，B(x2,y2)在直线y?kx?b(k?0)上，
则y1?kx1?b，y2?kx2?b，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，
AB?(x1?x2)2?(y1?y2)2?(x1?x2)2?(kx1?kx2)2?(1?k2)(x1?x2)2 ?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2] 或者AB?(x1?x2)?(y1?y2)?(x1?221k121x2)?(y1?y2)2?(1?2)(y1?y2)2 kk?(1?1)[(y1?y2)2?4y1y2]。 2k3、两条直线l1:y?k1x?b1,l2:y?k2x?b2垂直：则k1k2??1，两条直线垂直，则直线所在的向量
??v1?v2?0
4、韦达定理：若一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)有两个不同的根x1,x2，则x1?x2??
2bc,xx?。 12aa
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题型一数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系
x2y2例题1、已知直线l:y?kx?1与椭圆C:??1始终有交点，求m的取值范围
4m思路点拨：直线方程的特点是过定点（0，1），椭圆的特点是过定点（-2，0）和（2，0），和动点
（0，?m),且m?4。
x2y2解：根据直线l:y?kx?1的方程可知，直线恒过定点?0,1?，椭圆C:??1过动点
4mx2y2，且m?4，即?1始终有交点，则m?1（0，?m),且m?4，如果直线l:y?kx?1和椭圆C:?4m1?m且m?4。
规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：
l:y?kx?1?过定点?0,1? l:y?k(x?1)?过定点??1,0? l:y?2?k(x?1)?过定点??1,2?
证明直线过定点，也是将满足条件的直线整理成以上三种形式之一，再得出结论。 练习：1、过点P?3,2?和抛物线y?x?3x?2只有一个公共点的直线有（）条。
2 A．4 B．3 C．2 D．1
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题型二：弦的垂直平分线问题
弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为?1）和平分（中点坐标公式）。
例题2、过点T??1,0?作直线l与曲线N：y?x交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(x0,0)，使
2得?ABE是等边三角形，若存在，求出x0；若不存在，请说明理由。
分析：过点T??1,0?的直线和曲线N：y?x相交A、B两点，则直线的斜率存在且不等于0，可以设
2直线的方程，联立方程组，消元，分析类一元二次方程，看判别式，运用韦达定理，得弦的中点坐标，再由垂直和中点，写出垂直平分线的方程，得出E点坐标，最后由正三角形的性质：中线长是边长的运用弦长公式求弦长。
解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。
设直线l:y?k(x?1)，k?0，A(x1,y1)，B(x2,y2)。
32倍。?y?k(x?1)2222由?2消y整理，得kx?(2k?1)x?k?0① ?y?x由直线和抛物线交于两点，得??(2k?1)?4k??4k?1?0，即0?k?224221② 42k2?1由韦达定理，得：x1?x2??,x1x2?1。 2k2k2?11则线段AB的中点为(?,)。
2k22k111?2k2线段的垂直平分线方程为：y???(x?) 22kk2k令y=0,得x0?1111?E(?,0) ，则222k22k2113?,0)到直线AB的距离d为AB。 22k22??ABE为正三角形，?E(第4页共69页
1?4k22?AB?(x1?x2)?(y1?y2)? ?1?k2k221?k2d?
2k31?4k21?k2392??1?k?;解得满足②式 k??2k22k13此时x0?5。 3思维规律：直线过定点设直线的斜率k，利用韦达定理法，将弦的中点用k表示出来，再利用垂直关系将弦的垂直平分线方程写出来，求出了横截距的坐标；再利用正三角形的性质：高是边长的3倍，将k确
2定，进而求出x0的坐标。
x2例题3、已知椭圆?y2?1的左焦点为F，O为坐标原点。
2（Ⅰ）求过点O、F，并且与x??2相切的圆的方程；
（Ⅱ）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。
分析：第一问求圆的方程，运用几何法：圆心在弦的垂直平分线上，圆心到切线的距离等于圆心到定点的距离；第二问，过定点的弦的垂直平分线如果和x轴相交，则弦的斜率存在，且不等于0，设出弦AB所在的直线的方程，运用韦达定理求出弦中点的横坐标，由弦AB的方程求出中点的总坐标，再有弦AB的斜率，得到线段AB的垂直平分线的方程，就可以得到点G的坐标。
解：(I) ∵a2?2,b2?1，∴c?1,F(?1,0),l:x??2.
?1?1∵圆过点O、F,∴圆心M在直线x??上，设M??,t?，则圆
2?2?13半径：r?(?)???2??
222212231?9?由OM?r，得(?)?t?，解得t??2，∴所求圆的方程为?x????y?2??.
2?4?22(II)由题意可知，直线AB的斜率存在，且不等于0,设直线AB的方程为y?k?x?1??k?0?，
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