如图，已知点F（1，0），直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，
????????????????且QP?QF?FP?FQ
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
????????????????（Ⅱ）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，已知MA??1AF,AF??2BF，求?1??2的值。
小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.满分14分.
解法一：
????????????????，y)，由QP?QF?FP?FQ得： （Ⅰ）设点P(x，y)，则Q(?1(x?1,0)?(2,?y)?(x?1,y)?(?2,y)，化简得C:y2?4x.
（Ⅱ）设直线AB的方程为：
第21页共69页
x?my?1(m?0).
??2??， m?设A(x1,y1)，B(x2,y2)，又M??1，??y2?4x，联立方程组?，消去x得：
x?my?1，?y2?4my?4?0，??(?4m)2?12?0，故
?y1?y2?4m， ?yy??4．?12????????????????由MA??1AF，MB??2BF得：
y1?2222???1y1，y2????2y2，整理得：?1??1?，?2??1?， mmmy1my2??1??2??2?2?11?24m2y1?y2??0 ??2????2????m?y1y2?m?4my1y2解法二：
????????????????????????????（Ⅰ）由QP?QF?FP?FQ得：FQ?(PQ?PF)?0， ?????????????????(PQ?PF)?(PQ?PF)?0，
????2????2?PQ?PF?0，
?????????PQ?PF
所以点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为：y?4x.
2????????????????（Ⅱ）由已知MA??1AF，MB??2BF，得?1??2?0.
第22页共69页
????MA?1则：??????MB?2????AF????.…………① BF过点A，B分别作准线l的垂线，垂足分别为A1，B1，
????????????MAAA1AF则有：??????????????.…………②
MBBB1BF?????????1AFAF由①②得：??????????，即?1??2?0.
?2BFBF??????????x2y2?1(a?0)的左、F2，练习：设椭圆C:2?右焦点分别为F1、A是椭圆C上的一点，且AF2?F1F2?0，
a2坐标原点O到直线AF1的距离为
（1）求椭圆C的方程；
1|OF1|． 3?????????（2）设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线l交x轴于点P(?1,0)，较y轴于点M，若MQ?2QP，
求直线l的方程．
x2y2双曲线C与椭圆??1有相同的焦点，直线y=3x为C的一条渐近线。
84(1)求双曲线C的方程；
(II)过点P(0,4)的直线l，交双曲线C于A,B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合）。当
????????????8PQ??1QA??2QB，且?1??2??时，求Q点的坐标。
3解：
（Ⅱ）解法一：
由题意知直线l的斜率k存在且不等于零。 设l的方程：y?kx?4,A(x1,y1)，B(x2,y2)
4,0) k?????????PQ??1QA
则Q(?44?(?,?4)??1(x1?,y1)
kk第23页共69页
44?x???441??k?1k????1(x1?)? ??k?k?4???4??yy???111??1??A(x1,y1)在双曲线C上， ?161??1216()??1?0 k2?1?1162k?k2?2?0. 316?(16?k2)?12?32?1?16?k2?0.
316222k?0. 同理有：(16?k)?2?32?2?16?3?16?32?1?16?12?若16?k?0,则直线l过顶点，不合题意.?16?k?0,
22??1,?2是二次方程(16?k2)x2?32x?16???1??2?328??
k2?163162k?0.的两根. 3?k2?4，
此时??0,?k??2.
?所求Q的坐标为(?2,0).
解法二：
由题意知直线l的斜率k存在且不等于零
设l的方程，y?kx?4,A(x1,y1),B(x2,y2)，则Q(??????????PQ??1QA，
?????Q分PA的比为?1.
4,0). k4?4?1x1???x??(1??1)?k1???1k???11由定比分点坐标公式得? ??4??y411?0??y1?????11??1??下同解法一
第24页共69页
解法三：
由题意知直线l的斜率k存在且不等于零
设l的方程：y?kx?4,A(x1,y1),B(x2,y2)，则Q(??????????????PQ??1QA??2QB，
444?(?,?4)??1(x1?,y1)??2(x2?,y2).
kkk4,0). k??4??1y1??2y2，
??1??44，?2??， y1y2又?1??2??8， 3?112?? y1y23即3(y1?y2)?2y1y2
y2将y?kx?4代入x??1得(3?k2)y2?24y?48?3k2?0
32?3?k2?0，否则l与渐近线平行。 2448?3k2。 ?y1?y2?,y1y2?223?k3?k2448?3k2 ?3??2?3?k23?k2?k??2 ?Q(?2,0)
解法四：
由题意知直线l得斜率k存在且不等于零，设l的方程：y?kx?4，A(x1,y1),B(x2,y2)
4,0) k?????????PQ??1QA,
则Q(?第25页共69页