（I）求椭圆的方程；
（II）若直线l:x?t(t?2)与x轴交于点T,点P为直线l上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。
x2c3解：（I）由已知椭圆C的离心率e??，a?2,则得c?3,b?1。从而椭圆的方程为?y2?1
4a2（II）设M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线A1M的斜率为k1,则直线A1M的方程为y?k1(x?2)，
?y?k1(x?2)?222由?x2消y整理得(1?4k)x?16kx?16k?4?0 1212??y?1?416k12?4 ??2和x1是方程的两个根??2x1?21?4k12?8k124k1则x1?，， y?11?4k121?4k122?8k124k1即点M的坐标为(,) 221?4k11?4k128k2?2?4k2同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为(,) 221?4k21?4k2?yp?k1(t?2),yp?k2(t?2)
?k1?k22??，
k1?k2ty?y1y2?y1， ?x?x1x2?x1?直线MN的方程为：
?令y=0，得x?4x2y1?x1y2，将点M、N的坐标代入，化简后得：x?
ty1?y2又?t?2，?0?4?2 t?椭圆的焦点为(3,0)
443??3，即t? t3第16页共69页
故当t?43时，MN过椭圆的焦点。 3方法总结：本题由点A1??2,0?的横坐标－2是方程(1?4k12)x2?16k2x?16k12?4?0的一个根，结合2?8k12韦达定理得到点M的横坐标：x1?，利用直线A1M的方程通过坐标变换，得点M的纵坐标：
1?4k1216k12?44k1y1?；再将?2x1?中的k1用k2换下来，x1前的系数2用－2换下来，就得点N的坐标
1?4k121?4k1228k2?2?4k2(,)，如果在解题时，能看到这一点，计算量将减少许多，并且也不易出错，在这里减少计算221?4k21?4k2量是本题的重点。否则，大家很容易陷入繁杂的运算中，并且算错，费时耗精力，希望同学们认真体会其中的精髓。
k?k2本题的关键是看到点P的双重身份：点P即在直线A1M上也在直线A2N上，进而得到12??，
k1?k2t由直线MN的方程化简易得x?xy?xyy?y1y2?y1?得直线与x轴的交点，即横截距x?2112，将点M、N的坐标代入，
y1?y2x?x1x2?x1434344，由?3解出t?，到此不要忘了考察t?是否满足t?2。
33tt练习2、：已知，椭圆C以过点A（1，（1） 求椭圆C的方程；
3），两个焦点为（－1，0）（1，0）。 2（2）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定
值，并求出这个定值。
分析：第一问中，知道焦点，则a2?b2?1，再根据过点A，通过解方程组，就可以求出a2、b2，求出方程。
第二问中，设出直线AE的斜率k，写出直线的方程，联立方程组，转化成一元二次方程，由韦达定理和点A的坐标，可以求出点E的坐标,将点E中的k,用?k换下来，就可以得到点F的坐标，通过计算yE?yF，xE?xF，就可以求出直线EF的斜率了
x2y2?1，将点A的坐标代入方 解：（Ⅰ）由题意，c?1，可设椭圆方程为2?2aa?1程：
119222a??1?ca?4??1，解得，（舍去） 224a4(a?1)第17页共69页
x2y2??1。 所以椭圆方程为433x2y2（Ⅱ）设直线AE方程为：y?k(x?1)?，代入??1得
2433(3?4k2)x2?4k(3?2k)x?4(?k)2?12?02
设E(xE,yE),F(xF,yF),因为点A(1,)在椭圆上，所以
3234(?k)2?12 xF?23?4k23yE?kxE??k ………8分
2又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以-K代K，可得
34(?k)2?123y??kx??k ，xF?2EE23?4k2所以直线EF的斜率KEF?yF?yE?k(xF?xE)?2k1??
xF?xExF?xE21。 ……12分 2即直线EF的斜率为定值，其值为
老师总结：此类题的关键就是定点在曲线上，定点的坐标是方程的根，通过韦达定理，将动点的坐标求出，在根据斜率互为相反数，就可以直接求出第二动点的坐标，最后由斜率公式，可以求出斜率为定值。
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题型五：共线向量问题
解析几何中的向量共线，就是将向量问题转化为同类坐标的比例问题，再通过未达定理------同类坐标变换，将问题解决。此类问题不难解决。
????????x2y2例题7、设过点D(0,3)的直线交曲线M：??1于P、Q两点，且DP??DQ,求实数?的取值范
94围。
分析：由DP=lDQ可以得到?用?表示出来。
解：设P?x1,y1?,Q?x2,y2?,QDP??DQ?x1,y1?3????x2,y2?3?即?方法一：方程组消元法
22?x2y2??1?x2y2?94又QP、Q是椭圆+=1上的点\\? 2249(?x)(?y?3?3?)?22??1?4?9uuuruuur?x1??x2，将P?x1,y1?,Q?x2,y2?,代人曲线方程，解出点的坐标，
y?3??(y?3)?12?????????x1??x2
y?3??(y?3)?12消去x2，
2(?y2?3?3?)2??2y2可得?1??2
4即y2=
13??5 6?又Q－2￡y2￡2， \\－2￡13??5￡2 6?解之得：
1???5 5?1?则实数l的取值范围是?,5?。
?5?方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法设直线PQ的方程为：y?kx?3,k?0，
由??y?kx?322消y整理后，得(4?9k)x?54kx?45?0 22?4x?9y?36?P、Q是曲线M上的两点
???(54k)2?4?45(4?9k2)＝144k2?80?0
即9k?5①
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2由韦达定理得：x1?x2??54k45,xx? 124?9k24?9k2(x1?x2)2x1x2????2
x1x2x2x1542k2(1??)2 ??45(4?9k2)?36?9k2?44即② ??1?2225(1??)9k9k由①得0?11?，代入②，整理得 9k251?36?9， ?25(1??)5解之得
1???5 51。 5当直线PQ的斜率不存在，即x?0时，易知??5或??总之实数?的取值范围是?,5?。
5?1???方法总结：通过比较本题的第二步的两种解法，可知第一种解法，比较简单，第二种方法是通性通法，但计算量较大，纵观高考中的解析几何题，若放在后两题，很多情况下能用通性通法解，但计算量较大，计算繁琐，考生必须有较强的意志力和极强的计算能力；不用通性通法，要求考生必须深入思考，有较强的思维能力，在命题人设计的框架中，找出破解的蛛丝马迹，通过自己的思维将问题解决。
例题8：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y?12x的焦点，离4心率为
25． 5（1）求椭圆C的标准方程；
????????????????MB??2BF，（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若MA??1AF，
求?1??2的值．
分析：
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