44?(?,?4)??1(x1?,y1)。
kk4?k??4
??1?4kx1?4x1?k同理
?1??4484，?1??2?????.
kx1?4kx2?43kx2?4即 2k2x1x2?5k(x1?x2)?8?0 （*）
?y?kx?4?又 ?2y2
?1?x?3?消去y得(3?k)x?8kx?19?0.
当3?k?0时，则直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意，3?k?0。
22228k?x?x???123?k2由韦达定理有：?
?xx??19?123?k2?代入（*）式得
k2?4,k??2
?所求Q点的坐标为(?2,0)。
练习：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x?4y的焦点，离心
2率等于25。 5（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点P为椭圆上一点，弦PA、PB分别过焦点F1、F2，（PA、PB都不与x轴垂直，其点P的纵坐标
??????????????????不为0），若PF1??1F1A,PF2??2F2B，求?1??2的值。
x2y2b24122解：（1）设椭圆C的方程为：2?2?1(a?b?0)，则b=1，由2?1?e?1??，得a?5，
aba55第26页共69页
x2则椭圆的方程为：?y2?1
5x2（2）由?y2?1得：F1(?2,0),F2(2,0)，设P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2)，
5??????????????????有PF1??1F1A,PF2??2F2B得：(?2?x0,?y0)??1(x1?2,y1),(2?x0,?y0)??2(x2?2,y2)
解得：?1??y0y,?2??0， y1y2x2y0根据PA、PB都不与x轴垂直，且y0?0，设直线PA的方程为：y?代人?y2?1，(x?2)，
5x0?22222?整理后，得：?(x?2)?5yy?4y(x?2)y?y?0 00000??2?y0?y0y0根据韦达定理，得：y0y1?，则，从而，y?????(x0?2)2?5y2 112222y1(x?2)?5y0(x?2)?5y0同理可求?2??y0?(x0?2)2?5y2 y2则?1??2?(x0?2)2?5y02?(x0?2)2?5y02?2(x02?5y02)?4
x2由P(x0,y0)为椭圆?y2?1上一点得：x02?5y02?5，则?1??2?18，故?1??2的值为18.
5第27页共69页
题型六：面积问题
6x2y2例题8、已知椭圆C：2?2?1?a?b?0?的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为
ab3（Ⅰ）求椭圆C的方程；
3。
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为值。
3，求△AOB面积的最大2?c6，x2??解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意?a3?b?1，?所求椭圆方程为?y2?1。
3?a?3，?（Ⅱ）设A(x1,y1)，B(x2,y2)。 （1）当AB⊥x轴时，AB?3。
（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y?kx?m。
由已知m1?k2?3232，得m?(k?1)。
42222把y?kx?m代入椭圆方程，整理得(3k?1)x?6kmx?3m?3?0，
?6km3(m2?1)?x1?x2?2，x1x2?。 23k?13k?12?AB?(1?k)(x2?x1)22?36k2m212(m2?1)??(1?k)?2?2(3k?1)3k2?1???212(k2?1)(3k2?1?m2)3(k2?1)(9k2?1) ??2222(3k?1)(3k?1)12k21212?3?4?3?(k?0)≤3??4。
19k?6k2?12?3?69k2?2?6k第28页共69页
当且仅当9k?213，即时等号成立。当k?0时，AB?3， k??k23综上所述ABmax?2。
133。 ?当AB最大时，△AOB面积取最大值S??ABmax??222x2练习1、如图，直线y?kx?b与椭圆?y2?1交于A、B
4两点，记?ABC的面积为S。
（Ⅰ）求在k?0，0?b?1的条件下，S的最大值； （Ⅱ）当AB?2，S?1时，求直线AB的方程。
解：（Ⅰ）解：设点A的坐标为
?x1,b?，点B的坐标为?x2,b?，由
x22， ?b2?1，解得x1，2??21?b4所以S?1b?x1?x2?2b?1?b2?b2?1?b?1， 22时，S取到最在值1， 2当且仅当b??y?kx?b,1???22（Ⅱ）解：由?x2得?k2??x2?2kbx?b2?1?0，??4k?b?1，
24???y?1,??44k2?b2?1AB?1?k?x1?x2?1?k??2
1?k2422设O到AB的距离为d，则d?2s?1， AB第29页共69页
又因为d?b1?k2，
1?0， 422所以b?k?1，代入②式并整理，得k?k?42解得，k?2123,b?，代入①式检验，??0。 22故直线AB的方程是
y?26262626。 x?，或y?x?，或y??x?,或y??x?22222222练习2、已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4。
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)直线l过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当ΔAOB面积取得最大值时，求直线l的方程。
x2y2解：设椭圆方程为2?2?1(a?b?0).
ab?b?c?22a（I）由已知得??4?c?222??a?b?c?a2?2???b2?1 ?2?c?1x2?所求椭圆方程为?y2?1.
2（II）解法一：由题意知直线l的斜率存在， 设直线l的方程为y?kx?2，A(x1,y1),B(x2,y2) ?y?kx?2?由?x2消去y得关于x的方程：(1?2k2)x2?8kx?6?0 2??y?1?2由直线l与椭圆相交A、B两点，???0?64k2?24(1?2k2)?0，
2解得k?3， 28k?x?x??12??1?2k2又由韦达定理得?
6?x?x?12?1?2k2?第30页共69页