(x?0)(x?x1)?(y?p)(y?y1)?0,将直线方程y?a代入得x2?x1x?(a?p)(a?y1)?0,
p??则?＝x12?4(a?p)(a?y1)?4?(a?)?y1?a(p?a).
2??设直线l与以AC为直径的圆的交点为P（x2,y2）,Q（x4,y4）,则有
pp??PQ?x3?x4?4?(a?)y1?a(p?a)??2(a?)y1?a(p?a).
22??令a?ppp?0,得a?,此时PQ?p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为y?. 222即抛物线的通径所在的直线。
x2y2练习、设椭圆E: 2?2?1（a,b>0）过M（2，2），N(6,1)两点，O为坐标原点，
ab（I）求椭圆E的方程；
????????（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OA?OB？
若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。
x2y2解:（1）因为椭圆E: 2?2?1（a,b>0）过M（2，2），N(6,1)两点,
ab?42?11??1????a2?8x2y2?a2b2?a28所以?解得?所以?2椭圆E的方程为??1
611184b?4????1??222??4?ab?b????????（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OA?OB,
?y?kx?m?22设该圆的切线方程为y?kx?m解方程组?x2y2得x?2(kx?m)?8,即
?1??4?8(1?2k2)x2?4kmx?2m2?8?0,
则△=16km?4(1?2k)(2m?8)?8(8k?m?4)?0,即8k?m?4?0
222222224km?x?x??12??1?2k2?2?xx?2m?8?121?2k2?,
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k2(2m2?8)4k2m2m2?8k22要使y1y2?(kx1?m)(kx2?m)?kx1x2?km(x1?x2)?m???m?1?2k21?2k21?2k222????????2m2?8m2?8k222OA?OB,需使x1x2?y1?3m?8k?8?0,所以y20,即,所以??0221?2k1?2k22?m?283m?826262222,所以m?,即m?或m??,因为直k??0又8k?m?4?0,所以?2383m?833?线y?kx?m为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为r?m1?k2,
m2r??21?k2826m2822x?y?,,所求的圆为,此时圆的切线y?kx?m都满足r??2333m?831?8x2y2262626或m??,而当切线的斜率不存在时切线为x??与椭圆??1的两个交点m?84333????????826262626为(,?)或(?,?)满足OA?OB,综上, 存在圆心在原点的圆x2?y2?，使得该
33333????????圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OA?OB.
4km?x?x??12??1?2k2因为?, 22m?8?xx?12?1?2k2?4km22m2?88(8k2?m2?4)所以(x1?x2)?(x1?x2)?4x1x2?(?, )?4??22221?2k1?2k(1?2k)22|AB|?(x1?x2)??y1?y2?228(8k2?m2?4) ?(1?k)(x1?x2)?(1?k)22(1?2k)222324k4?5k2?132k2??4?[1?4], 2234k?4k?134k?4k?1①当k?0时|AB|?321[1?]
134k2?2?4k第37页共69页
因为4k?21?4?8所以0?k211?, 14k2?2?48k所以
32321?[1?]?12,
1334k2?2?4k426?|AB|?23当且仅当k??时取”=”. 3246. 326262626,?)或(?,?),所以此时3333所以② 当k?0时,|AB|?③ 当AB的斜率不存在时, 两个交点为(|AB|?46, 3综上, |AB |的取值范围为446?|AB|?23即: |AB|?[6,23] 33【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.
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题型八：角度问题
例题9、如图（21）图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：PM?PN?6. （Ⅰ）求点P的轨迹方程；
PN＝（Ⅱ）若PM·2,求点P的坐标.
1?cos?MPN解：(Ⅰ)由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长2a=6的椭圆.
因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴b=a2?c2?5，
x2y2所以椭圆的方程为??1.
95(Ⅱ)由PM?PN?2,得
1?cosMPNPM?PNcosMPN?PM?PN?2.①
因为cosMPN?1,P不为椭圆长轴顶点，故P、M、N构成三角形.在△PMN中，MN?4,由余弦定理有
MN?PM?PN?2PM?PNcosMPN.②
将①代入②，得42?PM2222?PN?2(PM?PN?2).
2x2故点P在以M、N为焦点，实轴长为23的双曲线?y2?1上.
3?33x??,2222??5x?9y?45,xy??2
由(Ⅰ)知，点P的坐标又满足解得???1，所以由方程组?2295??x?3y?3.?y??5.??2即P点坐标为(335335335335,)、（，-）、（-，）或（?，-）. 22222222x2y2练习1、已知方向向量为v=(1,3)的直线l过点（0，－23）和椭圆C：2?2?1(a>b>0)的焦点，
ab且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在过点E（－2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足
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?????????4OM?ON?6cot?MON?0（O为原点）.若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由.
3
本小题主要考查直线、椭圆及平面向量的基本知识，平面解析几何的基本方法和综合解题能力.满分14分.
（I）解法一：直线l:y?3x?23，①
过原点垂直l的直线方程为y??解①②得x?3x，② 33. 2∵椭圆中心O（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，
a23??2??3.
c2∵直线l过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.
x2y2?c?2,a?6,b?2.故椭圆C的方程为??1.③
6222解法二：直线l:y?3x?23.
p?q?3??23?22?设原点关于直线l对称点为（p，q），则?解得p=3. ?3?q??1.?p?∵椭圆中心O（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，
a2??3.∵直线l过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）. cx2y2?c?2,a?6,b?2.故椭圆C的方程为??1.③
6222（II）解法一：设M（x1,y1），N（x2,y2）.
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