?AB?1?kx1?x2?1?k原点O到直线l的距离d?2221?k216k2?24. (x1?x2)?4x1x2?21?2k221?k ?S?ADB116k2?24222k2?3 ?AB?d??21?2k21?2k216k2?24解法1：对S?两边平方整理得：4S2k4?4(S2?4)k2?S2?24?0（*） 21?2k?S?0，
??16(S2?4)2?4?4S2(S2?24)?0?2?4?S ??2?0S??S2?24?0??4S21整理得：S2?.
2又S?0， ?0?S?2. 2从而S?AOB的最大值为S?2， 214 242此时代入方程（*）得4k?28k?49?0?k??所以，所求直线方程为：?14x?2y?4?0. 解法2：令m?2k2?3(m?0)，则2k2?m2?3，
?S?22m2222??. m2?4m?42m当且仅当m?此时k??42即m?2时，Smax?
2m14. 2所以，所求直线方程为?14x?2y?4?0. 解法二：由题意知直线l的斜率存在且不为零.
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设直线l的方程为y?kx?2，A(x1,y1)，B(x2,y2) 则直线l与x轴的交点D(?2,0) k由解法一知：k28k?x?x??223??11?2k?且? 2?x?x?6?121?2k2?解法1：S?AOB?112OD?y1?y2??kx1?2?kx2?2 22k216k2?24222k2?3 ?x1?x2?(x1?x2)?4x1x2??1?2k21?2k2下同解法一
解法2：S?AOB?S?POB?S?POA下同解法一
已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的离心率为
1222k2?3??2?x2?x1?x2?x1? 21?2k22，F1,F2为其焦点，一直线过点F1与椭圆相交于2A,B两点，且?F2AB的最大面积为2，求椭圆的方程。
解：由e＝
2222得a:b:c?2:1:1，所以椭圆方程设为x?2y?2c 2?x?my?c222AB:x?my?c设直线，由?2得：(m?2)y?2mcy?c?0 22x?2y?2c???4m2c2?4c2(m2?2)?4c2(2m2?2)?8c2(m2?1)?0
设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1,y2是方程的两个根
2mc?y?y?12?22cm2?1?m2?22由韦达定理得?所以y1?y2?(y1?y2)?4y1y2? 22m?2c?yy??12?m2?2?S?ABF2m?122c2121＝?22c??2c2 ?F1F2y1?y2?c?22c2122m?2m2?1?m2?12,c?1
2当且仅当m?0时，即AB?x轴时取等号?2c2?x2所以，所求椭圆方程为?y2?1
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题型七：弦或弦长为定值问题
例题9、在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线x2=2py（p>0）相交于A、B两点。
（Ⅰ）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；
（Ⅱ）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。（此题不要求在答题卡上画图）
本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力.
解法1：
（Ⅰ）依题意，点N的坐标为N（0,-p）,可设A（x1,y1）,B（x2,y2），直线AB的方程为y=kx+p,与x2=2py
?x2?2py联立得?消去y得x2?2pkx?2p2?0.
?y?kx?p.由韦达定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.
1于是S?ABN?S?BCN?S?ACN??2px1?x2＝px1?x2?p(x1?x2)2?4x1x2
2＝p4p2k2?8p2?2p2k2?2.
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?当k?0时,（S?ABN）min?22p2.
（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a,AC的中点为O?,t与AC为直径的圆相交于点P、Q，PQ的中点为H，则O?H?PQ,O?点的坐标为（x1y1?p,） 22?O?P?11212AC?x1?(y1?p)2＝y1?p2. 222y1?p1?2a?y1?p, 22O?H?a?11p222?PH?O?P?O?H=(y12?p2)?(2a?y1?p)2＝(a?)y1?a(p?a),
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p??2?PQ?(2PH)2=4?(a?)y2?a(p?a)?.
2??令a?ppp?0，得a?,此时PQ?p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为y?， 222即抛物线的通径所在的直线. 解法2：
（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得
AB?1?k2x1?x2?1?k2?(x1?x2)2?4x1x2?1?k2?4p2k2?8p2＝2p1?k2?k2?2.
又由点到直线的距离公式得d?从而，S?ABN?2p1?k2.
112p?d?AB??2p1?k2?k2?2??2p2k2?2, 221?k2?当k?0时，（S?ABN）max?22p2.
（Ⅱ）假设满足条件的直线t存在，其方程为y=a，则以AC为直径的圆的方程为
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