第一章 运动学
第一节 质点运动的位移和路程
1．质点
运动学只是客观地描述物体的运动，它并不考虑物体运动状态改变的原因，若在所研究的问题中，物体的形状、大小可以忽略时，我们就可以把物体近似地看成是一个有同等质量的点，称为质点。质点突出了“物体具有质量”和“物体占有的位置”这两个根本性质。
2．参照物
宇宙间的一切物体卖都在永恒不停的运动中，绝对静止的物体是不存在的，因此物体在空间的位置只能相对于另一个物体来确定。要正确地确定质点的位置及其变化，必须事先选取另外一个假定为不动的物体作为参照才有意义。这个选来作为参照的物体，就叫做参照物。为了能准确地、定量地来表示物体相对于参照物的位置和位置的变化，我们就需要建立一个坐标系，参照系是参照物的数学抽象，固结于参照物上的坐标系叫做参照系。
在参照物中引入坐标系，质点P的位置就可以用坐标系中一组坐标来确定。以直角坐标系为例，质点P的位置可用一组直角坐标x、y、z 确定，如图1-1-1所示。质点运动时，它可分别表示为时刻t的函数
x?x(t) y?y(t) z?z(t)
这就是用坐标表示的运动学方程。如果在方程中消去t，就可得到质点的轨道方程。 图1-1-1 为了更简捷地表示质点的位置，人们还常引入位置矢量（简称位矢）的概
?念，在直角坐标系中，位矢r定义为自坐标原点到质点位置P（x、y、z）所引的有向线段，故有
????r?x(t)i?y(t)j?z(t)k
r?x2?y2?z2
?r的方向为原点O指向质点P。
3、位移和路程
位移是指质点运动过程中，在一段时间△t内位置的变化，即是位矢的增量，如图1-1-2所示。
??????r?rB?rA?r(t??t)?r(t)
其中
????r(t??t)?x(t??t)i?y(t??t)j?z(t??t)k
?????r??xi??yj??zk
?x?x(t??t)?x(t) ?y?y(t??t)?y(t) ?z?z(t??t)?z(t)
图1-1-2
从中我们不难看出，在计算位移时，通常先求出x轴、y轴、z轴三个方面向上位移的三个分量后，再按矢量合成法则求合位移。
路程?S是指质点在?t时间内通过的实际轨迹的长度，它是标量。
例题1．在草地上一位晨练者，第一次先向北移动了12m，然后向东南移动6.0m，又向西南移动3.0m。试求：（1）晨练者的位移；（2）晨练者走过的路程。
例题1解析：（1）晨练者的运动过程如图1-1-3所示，位移是
????r?r1?r2?r3 rx?r1x?r2x?r3x
?0?6.0cos450?3.0cos450?2.12m
ry?r1y?r2y?r3y
?12?6.0sin450?3.0sin450?5.64m
故
图1-1-3 r?r2x?r2y?6.0m
??arctan?0即r方向为东偏北69.4。
（2）晨练者的路程是
ryrx?69.40
s?(12.0?6.0?3.0)m?21.0m
点评：本题考查位移和路程等概念，要求学生学会运用矢量进行运算，区分位移和路程两个基本概念。
第二节 速度 加速度
1．平均速度
在一段时间t内，质点的位移为?r，那么，位移?r与时间?t的比值叫做平均速度。平均速度可以粗略描述一段时间内物体运动的快慢和运动方向。
v平均?2．即时速度
我们把?t趋近于零时，平均速度即
v??r ?t?r所趋近的极限值，叫做运动质点在t时刻的即时速度（也称为瞬时速度）。?t?rlim?t
?t?0即时速度可以精确、如实地描述质点在任一时刻的邻近时间内变速直线运动的快慢，平均速度、即时速度都是矢量，具有大小和方向。
描述质点的运动，有时也采用一个叫做“速率”的物理量。速率是标量，等于运动质点所经过的路程与经过该路程所用时间的比值，而不考虑质点运动的方向。所以平均速率可定义为
v?s t一般情况下平均速率与平均速度的大小是不相等的。例如，在某一时间内，原点沿闭合曲线环行一周，虽然质点的位移等于零，平均速度也为零，而质点的平均速率是不等于零的。而即时速率就是即时速度的大小，而不考虑方向。
3．加速度
在变速运动中，速度改变的快慢一般是不同，为了研究速度随时间而改变的特征，物理学中引入了加速度的
?v概念，它等于速度对时间的变化率，即a?。
?t从上式求得的实际上是质点运动的平均加速度，依平均速度和瞬时速度知识可得即时加速度为
a?lim?t?0?v?t
例题2．已知某质点的运动学方程为x=（t2+4）m，试求第1秒到第2秒这段时间内的平均速度及即时速度、加速度。
例题2解析：平均速度为
2?4)?(t12?4)?xx2?x1(t2 v????tt2?t1t2?t1?方向沿x轴的正方向。
即时速度为
8?5?3m/s 2?1v?lim?t?0?x?t?lim?t?0(t??t)2?4?(t2?4)?t?2tm/s
?lim?t?02t?t??t2?t因此，1秒末和2秒末的速度分别为2m/s、4m/s。
加速度为
a?limvt?0?v?t?lim?t?02(t??t)?2t?t?2m/s2
点评：该题主要是练习如何运用数学中的极限来求瞬时速度和瞬时加速度，从而加深物理量对时间的变化率的理解。如位移对时间的变化率就是瞬时速度，速度对是时间的变化率就是加速度等。
例题3．蚂蚁离开巢沿直线爬行，它的速度与到蚁巢中心的距离成反比，当蚂蚁爬到距巢中心l1=1m的A点处时，速度是v1?2cm/s,试问蚂蚁从A点爬到距巢中心l2=2m的B点所需的时间为多少？
例题3解法一：蚂蚁爬行作变速运动，为了求解，可将AB间距拆分成很小的n等份，则在任一等份内蚂蚁的运动可看成是匀速运动，但在各等份中运动的速度并不相等，将蚂蚁经过各等份所需时间加起来即是所求的时间。
将蚁巢中心定为坐标原点O，OA连线即为x轴正向，则坐标x处蚂蚁的速度可表示为
v?k/x?l1v1/x
图1-2-1
即
11x?? vl1v1将A、B连线分成n等份，如图1-2-1所示，每份长?x?(l2?l1)/n，对应的速度为v1、v1′、v2′??vn-1′、v2，当n很大时，每小段运动可看成匀速运动，由A到B所需的总时间为
T??x?x?x?x
??????
v1v1'v2'vn?1'1111） ??????v1v1'v2'vn?1'??x(11?)?nl2?l1v1v'n?1l?l11???21(?)
n22v1v'n?1(当n??时，v'n?1?v2，则上式可变为
2l2?l1v1?v2l2?l12T????75s
2v1v22l1v1例题3解法二：蚂蚊爬完每一段路程?x所用的时间?t为：?t?其中阴影区的面积恰为?t。又因为
?x11???x可见，如果作?x图像时，vvv11?x，所以做出的?x图像是一条过原点vv的直线，如图1-2-2所示。从图中不难看出，当n??时，梯形abcd的面积即
为蚂蚁从A到B的时间，
11?)(l2?l1)v1v2T?
2(2l2?l12??75s 2l1v1图1-2-2 点评：比较两种解法，显然解法二比解法一简便清晰得多，可见图像法解题在物理问题中十分有用。另外还需注意两种解法中都用到了分割求和的处理手法，这种方法在解决一些物理问题时是非常有效的，以后会经常遇到，学生们一定要熟练掌握。
第三节 匀变速直线运动及其图像
1、匀变速直线运动
若在任意相等时间内速度的变化（增加或减少）均相等，这种运动称为匀变速直线运动。质点作匀变速直线运动时的加速度a的大小和方向恒定不变。由匀变速运动的两个基本概念，平均速度v?可推导出匀变速直线运动的即时速度公式、位移公式、速度平方公式。即
v?v0s和加速度a?t，tt
vt?v0?at
s?v0t?12at 22vt2?v0?2as
在运用上述公式时，一定要写注意速度v、位移s和加速度a的矢量性。此外运用这些公式还可以得出匀变
速直线运动的一些特殊规律。
（1）在某个运动过程中，中间时刻的即时速度等于这个过程的平均速度，即
vt/2?v?（2）在某个运动过程，中点的即时速度为
1(v0?vt) 2vs/22v0?vt2 ?2且无论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动都有vs/2?vt/2。
（3）在任意连续相邻相等的时间间隔T内的位移之差?s都相等，且有?s?aT。
（4）初速为零的加速直线运动，从运动开始计时，在连续相等的时间间隔内的位移之比为奇数比，即
2s1:s2:s3:??1:3:5:?
（5）初速为零的加速直线运动，从运动开始计时，经过连续相同的位移所用时间之比为
t1:t2:t3:??1:(2?1):(3?2):?
2、图像
物理图像能形象地表述物理规律，直观地描述物理过程，鲜明地表示物理量图1-3-1 之间的相互关系及变化趋势。因此努力培养自己作图、识图、分析图像的能力，对于理解物理概念，认识物理规律，分析和解答物理问题都是十分必要的。
质点的运动图像主要有：速度－时间图像（v?t图像），位移－时间图像（s?t图像）等。对速度图线应着重理解两点：
（1）速度图线的斜率，等于加速度，如图1-3-1所示，即
tan??
?v?a ?t（2）速度图线下梯形的面积在数值上等于对应时间内质点位移的大小。
例题1．有一长度为s，被分成几个相等部分，在每一部分的末端，质点的加速度增加为a，由这一长度s的始端从静止出发，求它通过这段距离后的速度多大？
a，若质点以加速度n1)、n解析：设每一等分段末端的速度分别为v1、v2、v3??vn；每一等分段的加速度分别为a、a(1?2n?1sa(1?)??a(1?)。每一等分段的位移为。
nnn2根据vt2?v0?2as得