sv12?0?2a
n1s2v2?v12?2a(1?)
nn1s22v3?v2?2a(1?)
nn???
22vn?vn?1?2a(1?n?1s) nn以上各式相加得
s12n?1sn(n?1)12vn?2a(n?????)?2a[n?]?as(3?)
nnnnn2nn所以 vn?1as(3?)
n点评：能从所给的物理情境中迅速正确地选择公式进行求解，是学生能力的一种表现。本题考查对匀变速运动的公式掌握的熟练情况，并用到数学上的求和知识，所以有较好的数学基础，将有助于学好物理知识。
例题2．一列火车由等长的车厢连接而成。一人站在月台上与第一节车厢的前端相齐平，当列车做初速度为零的匀加速直线运动时，测得第一节车厢通过的时间为2s，问他测到的从第5节（第4节车尾）至第16节（第16节车尾）车厢通过的时间为多少？
解析：设n节车厢通过的时间为tn，每节车厢长度为s，列车运动的加速度为a，则由s?车厢通过的时间为t1?12at可得第一节22s。由匀变速运动的特殊规律，知第n节车厢通过时所用的时间是atn?(n?n?1)t1，所以车厢由第5节至第16节车厢通过的时间为
t?t5?t6???t16?(16?4)t1?4s
点评：应用特殊规律，简化解题过程。
例题3．一物体作加速直线运动，依次经A、B、C三点，B为AC中点。在AB段加速度恒为a1，在BC段加速度恒为a2。已知vB?vA?vC，比较a1和a2的大小。 2解法一：设AB、BC段位移分别为s1、s2，因为B为AC的中点，因此s1?s2。物体在AB和BC段分别作匀加速直线运动，所以有
2a1s1?vB2?vA2 2a2s2?vC2?vB2
把以上两式相比得
a1(vB?vA)(vB?vA) ?a2(vC?vB)(vC?vB)由已知vB?
vA?vC，可得：vC?vB?vB?vA。将此关系代入上述结果可得 2
a1vB?vA ?a2vC?vB物体一直在作加速运动，显见vB?vA?vC?vB，所以a1?a2。
解法二：利用v?t图像求解，做出过程的v?t图像，如图1-3-2所示，在v轴上标出三点：vA、vB、vC，使vC?vB?vB?vA，要满足SAB?SBC，必须满足a1?a2。
点评：在处理某一类物理问题时，显然用图像法更为快捷和方便。 例题4．摩托车以速度v1沿平直公路行驶，突然驾驶员发现正前方s处，
图1-3-2 有一辆汽车正以v2?v1的速度开始减速，加速度大小为a2。为了避免发生碰撞，摩托车也同时减速，求其加速度至少需要多少？
解析：本题我们将用图像法的方法进行各种情况的讨论。
（1）当汽车经t2?v2停下时，摩托车正好经过同样的时间靠着汽车停下。如图1-3-3所示，其相对位移为 a2v11?s?(v1?v2)t2?(v1?v2)2
22a2a1?v1v1?a2 t2v2图1-3-3 所以满足a1?v1a2即可。 v2（2）如图1-3-4所示，当两车间距较小时，即s??s，两车不发生碰撞的条件是其相对速度为零，即二者
(v1?v2)2(v1?v2)2有共同速度v。因为?s?，所以s?。由此可得可得摩托
2(a1?a2)2(a1?a2)车的加速度为
(v1?v2)2a1??a2
2s（3）如图1-3-5所示，两车间距较大时，即s??s，汽车经过时间t2?v2a2图1-3-4 先停下，摩托车经过t1?
v1
后停下，这种情况下两车不发生碰撞的条件为a1
图1-3-5 ?s?s。有
v12v2211 s?v1t1?v2t2??222a12a2这时摩托车的加速度为
v12a2 a1?2v2?2a2s点评：像这种没有给出具体数值的物理试题，就有可能出现多种情况，在解类似的题目时，一定要注意讨论，避免漏解。
赛题2．（1997年第十四届全国物理预赛试题）一个质点沿x轴做直线运动，其速度v随时间t变化关系如图1-3-6所示。设t?0时，质点位于坐标原点处。试根据v?t图分别在图1-3-7及1-3-8中尽可能准确地画出：
（1）表示质点运动的加速度a随时间t变化关系的a?t图； （2）表示质点运动的位移x随时间t变化关系的x?t图。
图1-3-6
图1-3-7 图1-3-8 解析：由图1-3-6知，质点在0~2s内加速度保持不变，其值a?2?v?20m/s，做匀变速直线运动，这段时?t间内位移满足s??20t?10t；在2~3s内，物体做匀速运动，位移
s?20(t?2)，在3~8s内，物体的加速度和
前2s方向相反，a??5m/s， 位移s?20(t?3)?2.5(t?3)?20。
据此可分别画出a?t图和x?t图。 如图1-3-9和1-3-10所示。 图1-3-10
图1-3-9
点评：图像转换的主要依据是根据速度随时间变化的v?t图像，找出加速度、位移随时间变化的函数关系，从而描绘出它们的图像来。
第四节 相对速度与运动的合成和分解
1．相对速度 运动是相对的，质点相对不同的参照物有不同的运动状态，这些不同的运动状态又通过参照物之间的相对运
22
动联系起来。
通常，将相对观察者静止的参照系称为静止参照系，将相对于观察者运动的参照系称为运动参照系。物体相对静止参照系的运动称为绝对运动，速度称为绝对速度。物体相对运动参照系的运动称为相对运动，速度称为相对速度。运动参照系相对静止参照系的运动称为牵连运动，速度称为牵连速度。绝对速度、相对速度和牵连速度的关系是
v绝?v相?v牵
上式也可写成便于记忆的以下两个基本关系
vA对C?vA对B?vB对C
vA对B??vB对A
其中vA对C表示A物体相对C物体的速度，即绝对速度。vA对B表示物体相对于B物体速度，即相对速度，vB对C表示B物体相对于C物体的速度，即牵连速度。
以上关于相对速度的关系式也同样适用于求相对位移和相对加速度。在运用时一定要注意它们都是矢量式，．．．．．．．．．．应按照平行四边形定则进行运算。 2．运动的合成和分解
质点运动时，若同时受到几个相互独立因素的作用，而这几个因素独立作用用于质点时都可以使质点产生一个相应的运动，则此质点的运动可以看成是由这几个独立进行运动叠加而成的，这就是运动的独立性原理。在用运动的独立性原理分析一个物体同时参与两个或多个运动时，可以对每一个运动进行单独的分析，在分析的时候好像是其它运动根本不存在一样。
运动的独立性原理又叫叠加原理，是同一概念的两个方面。如果已知两个分运动，求解跟它等效的一个合运动叫做运动的合成，反之叫做运动的分解，合成和分解互为逆运算。
3．物系相关速度
正确分析物体（质点）的运动，除可以用运动的合成知识外，还可以充分利用物系相关之间的关系简捷求解。以下三个结论在实际解题中十分有用，切记。
（1） 刚性杆、绳上各点在同一时刻具有相同的沿杆、绳的分速度。 ．（2） 接触物系在接触面法线方向的分速度相同，切向分速度在无相对滑动时也是相同的。 （3） 线状交叉物系交叉点的速度是相交物系双方沿双方切向运动的矢量和。
例题1．某人以2.5米/秒的速度向正西方向跑时，感到风来自正北。如他将速度增加一倍，则感到风从正西北方向吹来。求风速和风向。
解析：根据相对速度的矢量关系，即v?v?v人，做出如图1-4-1所示的风风对人速度矢量图，易得
???v风?2v人?3.54m/s
方向是正东北风
点评：正确作出速度的矢量图，可以帮助我们迅速解答问题。这种方法有时在解题时是十分有效的。请同学们要多加练习。
例题2．一条河宽为d，河水的速度为v1，船以对静水的速度是v2。试问：
（1）为了使船到达对岸的时间最短，船头与河岸应成多少度角？最短时间是多少？到达对岸时，船在下游何处？
（2）当的船航行方向怎样时，小船所经过的路程最短？
图1-4-1
解析：（1）由于河宽是一定的。设船头与河岸成θ角，如图1-4-2所示，则船沿河宽方向的分速度为
v2sin?
过河时间为 t?显然，当θ=90°时，船过河的时间最短，为
d
v2?sin?图1-4-2 tmin船到达对岸时，船在正对岸的下游
d? v2s?v1tmin?dv1/v2
（2）当v2?v1时，显然，最短的路程即为河宽d。航向方向为偏向上游一个
v角度，其角度大小为??arcsin1。
v2图1-4-3 当v2?v1时，垂直河岸的航行方向驶向对岸是不可能的。但总可以找到一个这样的方向，使得航行的路程最短：如图1-4-3所示，设船实际航行速度为v?，与河岸夹角为?，实际路程为L，则有L?dsin?，要求L最小，即要求sin?的有最大值。在速度合成的矢量三角形Ov?v1中，设?Ov?v1??，运用正弦定理可得
v2v?1 sin?sin?sin??v2sin? v1即sin?min??v2。此时??，即速度的方向与船速垂直时，船才有最短路程。此时船的航行方向是：偏向上游，
2v1与水流的夹角为(?2?arcsinv2)，其所经过的最短路程为 v1Lmin?dvd?1 sin?v2点评：船过河的问题是典型的速度合成问题，解此题时要注意船渡河的过程中水和船都在同时运动，（等时性）；其次是船从此岸到彼岸，真正起作用的是船速，与水的流速无关（互不相干性）。水的流速只影响船登陆的地点。 2例小球A从高H处自由下落,与此同时,在小球A正下方的地面上,B小球以初速度V0竖直上抛,不计空气阻力,设
2
V0=40m/s,g=10m/s.求:⑴若要在B小球上升时两球相遇,则H的取值范围各是多少?⑵若要两小球在空中相遇,则H的取值范围又是多少?
【方法一】先来看看B能上升多久，也就是在多少时间之内它的速度变为0，很显然：v=V0-gt，v=0，V0=40m/s，∴t=4s。也就是，超过4s后B就要开始下落了。