所以
,
e的方向沿x轴的反方向。
9-19 如果把电场中的所有电荷分为两类，一类是处于高斯面s
内的电荷，其量用q表示，它们共同在高斯面上产生的电场强度为e?，另一类是处
于高斯面s
外的电荷，它们共同在高斯面上产生的电场强度为e ?，显然高斯面上任一点的电场强度e = e ?+ e?。试证明：
(1)
；
(2)
。
解 高斯面的电通量可以表示为
.
显然，上式中的第一项是高斯面内部电荷对高斯面电通量的贡献，第二项是高斯面外部电荷对高斯面电通量的贡献。
高斯定理表述为“通过任意闭合曲面s的电通量，等于该闭合曲面所包围的电量除以?0，而与s以外的电荷无关。”可见，高斯面s以外的电荷对高斯面的电通量无贡献。这句话在数学上应表示为
. (1)
所以，关系式 的成立是高斯定理的直接结果。
因为
,
于是可以把高斯定理写为
.
将式(1)代入上式，即得
. (2)
9-20 一个半径为r
的球面均匀带电，面电荷密度为?。求球面内、外任意一
点的电场强度。
解 由题意可知，电场分布也具有球对称性，可以用高斯定理求解。
在球内任取一点，到球心的距离为r，以r1为半径作带电球面的同心球面
1
图9-19
s1，如图9-19所示，并在该球面上运用高斯定理，得
,
由此解得球面内部的电场强度为
.
在球外任取一点，到球心的距离为r，以r2为半径作带电球面的同心球面s，如图9-19所示，并在该球面上运用高斯定理，得
2
2
,
即
.
由此解得
,
e2的方向沿径向向外。
9-21 一个半径为r
的无限长圆柱体均匀带电，体电荷密度为?。求圆柱体内、外任意一点的电场强度。
解 显然，电场的分布具有轴对称性，圆柱体内、外的电场强度呈辐射状、沿
径向向外，可以用高斯定理求解。
在圆柱体内部取半径为r、长度为l的同轴柱面s1(见图9-20)
1
作为高斯面并运用高斯定理
图9-20
.
上式左边的积分实际上包含了三项，即对左底面、右底面和侧面的积分，前两项积分由于电场强度与面元相垂直而等于零，只剩下对侧面的积分，所以上式可化为 ,
于是得
,
方向沿径向向外。 用同样的方法，在圆柱体外部作半径为r、长度为l的同轴柱面s，如图9-20所示。在s2上运用高斯定理，得
2
2
.
根据相同的情况，上面的积分可以化为
,
由上式求得
,
方向沿径向向外。
9-22 两个带有等量异号电荷的平行平板，面电荷密度为
??，两板相距d。当d比平板自身线度小得多时，可以认为两平行板之间的电场是匀强电场，
并且电荷是均匀分布在两板相对的平面上。
(1)求两板之间的电场强度；
(2)当一个电子处于负电板面上从静止状态释放，经过1.510
?
?8
s的时间撞击在对面的正电板上，若d = 2.0 cm，求电子撞击正电板的速率。
解
(1)在题目所说情况下，带等量异号电荷的两平行板构成了一个电容器，并且电场都集中在两
板之间的间隙中。作底面积为s
?的柱状高斯面，使下底面处于两板间隙之
中，而上底面处于两板间隙之外，并且与板面相平行，如图9-21
图9-21
所示。在此高斯面上运用高斯定理，得
,
由此解得两板间隙中的电场强度为
.
(2)根据题意可以列出电子的运动学方程
,
.
两式联立可以解得
.
9-24 一个半径为r
的球体均匀带电，电量为q，求空间各点的电势。
解 先由高斯定理求出电场强度的分布，再由电势的定义式求电势的分布。
在球内： ，根据高斯定理，可列出下式
,
解得
,
方向沿径向向外。
在球外： ，根据高斯定理，可得
,
解得
,
方向沿径向向外。
球内任意一点的电势：
, ().