图7-2 继电型非线性闭环系统模拟电路图 由图7-1可得
??c??KM?0 (e?0) T?c??c??KM?0 (e?0) T?c式中T为时间常数(T=0.5)，K为线性部分开环增益，M为继电器特性的限幅值。 因为 e?r?c
???c? r?R?1(t) e则有
??e??KM?0 (e?0) (1) T?e??e??KM?0 (e?0) (2) T?e??dede??e? ， 令 α?基于 ? 则式(1)改写为 edede?KM????e???KM e 0.5αe (3) 1?0.5α同理式(2)改写为
KM????e??KM e 0.5αe (4) 1?0.5α根据式(3)、(4)，用等倾线法可画出该系统的相轨迹，如下图所示。不难 看出，该系统的阶跃响应为一衰减振荡的曲线，其稳态误差为零。
2．带有速度负反馈的继电型非线性闭环控制系统
图7-3和图7-4分别为带速度负反馈的继电型非线性系统的方框图和模拟电路图。
图7-3 带有速度负反馈的继电型非线性系统方框图
31
图7-4 带有速度负反馈的继电型非线性系统模拟电路图 ??e?βe? 由方框图得： e1?e?βc1???e 由于理想继电型非线性的分界线为e1?0，于是得 eβ上式为引入速度反馈后相轨迹的切换线，其相轨迹如图7-5所示。
图7-5 带有速度负反馈的继电型非线性系统的相轨迹
3．饱和型非线性控制系统
图7-6和图7-7分别为饱和型非线性系统的方框图和模拟电路图
图7-6 饱和型非线性系统的方框图
图7-7 饱和型非线性系统的模拟电路图 由方框图得
??c??KM ，因为 r?c?e T?c所以 ??e??KM?T???r? T?er基于饱和非线性的特点，把相平面分割成下面三个区域： Ⅰ： m?e，e?e0 Ⅱ： m?M，e?e0 Ⅲ： m??M，e??e0
32
三个区域的运动方程分别为
??e??Ke?T???r? e?e0 (1) T?er??e??KM?T???r? e?e0 (2) T?er??e??KM?T???r? e?e0 (3) T?er下面分析阶跃输入下的相轨迹：
??r??0，则式(1)改写为 1) 线性区： e?e0,当t?0时，?r??e??Ke?0 (4) T?e??e?e 因 ??dede?dede，α?Ke，则上式对应相轨迹的等倾线为
1?Tα 由式(4)可知,该区域的奇点在坐标原点,且它为稳定焦点或稳定节点。
???e (区域Ⅰ)
2) 饱和区
??e??KM?0 (e?e0) T?e??e??KM?0 (e?e0) T?e或写作
???e??eKM (e?e0) (区域Ⅱ) 1?TαKM (e?e0) (区域Ⅲ) 1?Tα 其相轨迹分别如图7-8和7-9所示
图7-8饱和区域的相轨迹 图7-8阶跃信号作用下系统的相轨迹
33
实验八 非线性系统的描述函数法
一、实验目的
1．掌握非线性控制系统的电路模拟方法； 2．熟悉用描述函数法分析非线性控制系统。
二、实验设备
1．THBCC-1型 信号与系统·控制理论及计算机控制技术实验平台 2．PC机1台(含上位机软件) 37针通信线1根 3．双踪慢扫描示波器1台(可选)
三、实验内容
1．用描述函数法分析继电型非线性三阶系统的稳定性； 2．用描述函数法分析饱和型非线性三阶系统。 注：用描述函数法分析非线性系统的内容有：
1) 判别系统是否稳定；
2) 如果不稳定，确定自持振荡的频率和幅值。
四、实验原理
下图为非线性控制系统的方框图：
图中G(jω)为线性系统的频率特性，N为非线性元件，若令e?Xsinωt,则N的输出为一非正弦周期性的函数，用傅氏级数表示为
y?A0?A1sinωt?B1cosωt?A2sin2ωt?B2cos2ωt???
如果非线性元件的特性对坐标原点是奇对称的，即A0＝0；且G(jω)有良好的低通滤波器特性，能把y中各高次项谐波滤去，只剩下一次谐波，即 y1?A1sinωt?B1cosωt?Y1sin(ωt?φ1)
B22式中 Y1?A1?B1，φ1?arctan1
A1于是非线性元件N输出Y1与输入信号间的关系为:
N(X)?Y1?φ1 ① X34
N(X)称非线性特性的描述函数，它表示非线性元件输出的一次谐波分量对正弦输入的复数比。Y1为一次谐波的幅值，X为正弦输入信号的幅值，φ1为输出一次谐波分量相对于正弦输入信号的相移。
由于描述函数法适用于分析非线性控制系统的自持振荡问题，故令r=0。若在G(jω)的输入端施加一正弦信号y1?Y1sinωt (见方框图)，则N(X)的输出为
y??G(jω)N(x)Y1sinωt
如果y=y1,即1+G(jω)N(x)=0 G(jw)=?1 ② N(x)此时，即使撤去y1的信号系统的振荡也能持续进行。式②就是系统产生自持振荡的条件，
1式中?称描述函数的负倒特性。
N(x) 本实验应用描述函数法分析具有继电型和饱和型非线性特性的三阶系统，有关实验内容的理论计算和实验系统的模拟电路，请参见附录。
五、实验步骤
1．继电型非线性三阶系统的描述函数法研究
1) 设计一个继电型非线性三阶系统的模拟电路（可参考本实验附录的图8-3），并用描述函数法求取极限环的振荡频率与幅值。
?)相平面上的相轨迹。并e2) 利用阶跃输入作为测试信号，观测和记录该系统在(e,?)相平面上的相轨迹下e由实验所得的图形中获取极限环的振幅和周期。（测取系统在(e,阶跃响应的方法请参考“实验七”的有关步骤。） 2．饱和型非线性三阶系统描述函数法的研究
1) 设计一个饱和型非线性三阶系统的模拟电路（可参考本实验附录的图8-6），并用描述函数法求取极限环的振荡频率与幅值。
?)相平面上的相轨迹。并由e2) 利用阶跃输入作为测试信号，观测和记录系统在(e,?)相平面上的相轨迹下阶跃响应的方法e实验获取极限环的振幅和周期。（测取系统在(e,请参考“实验七”的有关步骤。）
六、实验报告要求
1．观测继电型非线性系统的自持振荡，由实验测量自振荡的幅值与频率，并与理论计算值相比较，分析两者产生差异的原因。
35