N，M，B三点共线时，BM＋MN最小，就等于N?B．而N?B最小即N?B⊥AC时，所以BM＋MN的最小值为4． 【解】4．
例3 已知边长为a的正三角形ABC，两顶点A，B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连结OC，则OC的长的最大值是 ． 【分析】取AB的中点D，连结CD、OD，则CD=
32a，OD=
a2，求OC的长的最
B C 大值，就是求OC≤CD＋OD＝1?32a，
O D OC的长的最大值1?32A 图15-3 a．
【解】1?32 a．
【说明】例2这种类型的题目比较普遍常见，利用图象的对称性和两点之间线段最短求两线段之和的最小值，而例3不常见，图中Rt△ABO随着动点A，B的移动形状发生改变，正△ABC随着动点A，B的移动边长，形状没有改变，但位置发生改变，但Rt△ABO中斜边上的中线始终等于斜边的一半，正△ABC中AB边上的中线始终等于3倍，应用第三边小于两边和(定值)，当且仅当O，D，C三点共线时等2于号成立．例2和例3恰好都运用了当三点不共线时，两边之和大于第三边，当三点共线时，等于号成立．当等号成立时，是左边两线段和的最小值就等于右边线段，右边线段的最大值就等于左边的两线段之和． 3综合题中探究动点问题中的定值．
例4 如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y?124x?x?10与x轴的189交点为点B,过点B作x轴的平行线BC，交抛物线于点C，连结AC．现有两动点P,Q
分别从O，C两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动，点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动，点P停止运动时，点Q也同时停止运动，线段OC，PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交CA于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P,Q移动的时间为t(单位:秒)
(1)求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；
(2)当t为何值时，四边形PQCA为平行四边形?请写出计算过程； (3)当0＜t＜
9时，△PQF的面积是否总2为定值?若是，求出此定值，若不是，请说明理由； 【分析】本题的(2)题考查无论为何值，PA＝QC的等量关系不变，以此等量关系来列方程求t的值；第(3)题△PQF面积的值图15-4 与底和高有关，本题以PF为底，高是定
值(平行线间的距离处处相等)，观察底PF是否与t无关，也是定值．本题涉及三组相似三角形的相似比，最终确定的△QEC与△FAE相似比是1：4，从而AF＝OP，从而PF＝AO＝18.
122x?8x?180，令y＝0得x?8x?180?0，?x?18??x?10??0 【解】(1)y?18∴x?18或x??10，
??∴A(18,0)．令x?0得y?10即B(0,?10)． ∵BC∥OA，
∴点C的纵坐标为－10，
124x?x?10得x?8或x?0， 由?10?189即C?8,?10?且易求出顶点坐标为?4,???98??． 9?98)． 9∴A(18,0),B(0,?10),C(8,?10)，顶点坐标为(4,?(2)若四边形PQCA为平行四边形，由于QC∥PA，故只要QC＝PA即可，而
PA?18?4t,CQ?t故18?4t?t得t?18． 5(3)设点P运动t秒，则OP?4t,CQ?t，0?t?4.5， 说明P在线段OA上，且不与点OA重合， ∵QC∥OP知△QDC∽△PDO，
∴
QDQCt1DQ1???则? DPOP4t4，QP5∵△QDE∽△QPF ∴
QEDQ1QE1? ??∴
QFQP5EF4∵△QEC∽△FEA
QCQE1?? AFEF4∴AF?4t?OP
∴
∴PF＝OA＝18
又点Q到直线PF的距离d?10，∴S?PQF?11PFd??18?10?90， 22于是△PQF的面积总为90.
【说明】动点问题实质就是考查学生用字母表示线段的能力，在因动点而导致的图形的变化过程中能牢牢把握其中的量与量之间的关系，运动路程用速度*时间来表示，剩余路程用线段长减运动路程，相似三角形对应线段成比例，用相似比来表示对应线段.本题结合图形能发现图形中所具有的平行四边形的对边平行且相等.这些方法是在动点的综合题中经常要运用的方法，要学生通过训练达到熟练用字母来表示线段，实质就是函数的思想，用一个变量来表示另一个变量.定值问题是特殊的常量函数，所表示的量是个常量．
4综合题中探究动点问题中的常用的分类讨论的数学思想．
例5 如图15-5，AB是⊙O的直径，弦BC＝2cm，∠ABC=60o (1)求⊙O的半径．
(2)若动点E以2cm/s的速度从点A出发沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的速度从点B出发沿BC方向运动，设运动的时间为t(s) (0＜t＜2)，连接EF，当t为何值时，△BEF为直角三角形．
CBACCFFBAAOEOOE B
图15-5
【分析】本题第(2)题随着点E和点F的运动，△BEF的形状发生改变，△BEF有如
oo
上图的两种可能，要对△BEF的形状进行分类讨论(1)∠EFB=90，(2) ∠FEB=90 【解】(１)∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90?.
∵BC＝2cm， ∠ABC＝60 o，
∴AB＝4 cm，即⊙O的半径为2cm.．
(2)AE＝2t，BF＝t，BE＝4-2t．
4?2tBE4?2t14??，t＝． 当(2)∠FEB＝90?时，cos60o＝BFt254∴t＝1或．
5【说明】动点问题中随着点的运动图形的形状会发生改变，所以当它图形是直角三
当(1)∠EFB＝90?时，cos60o=
BFBE?t， t＝1．
角形，等腰三角形，或三角形相似等问题常常要对它进行分类讨论.近几年中存在性问题中也常常体现分类讨论的思想.
(二)图形运动型问题(主要以几何图形、函数图象的平移为主) (1)综合题中探究几何图形的运动而导致重叠部分形状的改变
28y例6 如图15-6-1，已知直线l1:y??与
l2 3x3直线ly??2x?16相交于点C，l1、l2分别交x轴于A、
2:E C D l1B两点．矩形DEFG的顶点D、E分别在直线l1、l2上，顶点F、G都在x轴上，且点G与点B重合．
B F A O （G） x (1)求△ABC的面积；
图15-6-1
(2)求矩形DEFG的边DE与EF的长；
(3)若矩形DEFG从原点出发，沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t (0≤t≤12)秒，矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．
【分析】本题是将矩形DEFG平移，导致与ABC重叠图形的形状发生改变.
要求能分析出图中哪几个临界点，对自变量进行分段，用关于t的函数来表示.
28【解】(1)由x??0，得x??4，∴A点的坐标为(－4，0)．
33由?2x?16?0，得x?8.
∴B点的坐标为(8，0). ∴AB?8???4??12.
28??x?5?y?x?由?， 33，解得?
y?6.???y??2x?16∴C点的坐标为(5，6).
11∴SABC?AB?yc??12?6?36.
22?yD?(2)∵点D在l1上且xD?xB?8，
∴点D坐标为(8，8)，
28?8??8． 33∵点E在l2上且yE?yD?8， ??2xE?16?8．?xE?4．∴E点坐标为(4，8)∴OE＝8－4＝4，EF＝8
(3)①当0≤t＜3时，如图15-6-2，矩形DEFG与△ABC重叠部分为五边形CHFGR (t＝0时，为四边形CHFG)．过C作CM?AB于M，则
Rt△RGB∽Rt△CMB． yE l2 C H D R yl1l2 D C R yE H l1E D l2 C l1R B x F A G O M B x
图15-6-3
图15-6-4
A O F M G B x 图15-6-2 ∴
A F O G M BGRGtRG?，，即?∴RG?2t． BMCM36Rt△AFH∽Rt△AMC，
112∴S?S△ABC?S△BRG?S△AFH?36??t?2t??8?t???8?t?．
223421644．即S??t?t?
333②当3≤t＜8时如图15-6-3，矩形DEFG与△ABC的重叠部分为梯形HFGR. 由①知，HF＝
2?8?t?. 3∵Rt△AGR∽Rt△AMC，
RCAGRG12?t??∴，即， CMAM69