1xy?xy，??2.2 360100解得x=60，y=180
方式4：从A、D这2个空来提问：普通公路有多少千米，汽车在普通公路上行驶了多少小时？
【解】设普通公路长为xkm，汽车在普通公路上行驶了yh
根据题意，得x=60y，2x=100(2.2﹣y) 解得x=60，y=1
【说明】本题是一道应用题，给出一些条件，但没有明确提问.该题要求考生根据所给信息，就自己提出的问题进行解答.这属于结论“有限”开放型题目.说到“有限”，是因为题目实际上限定了只能就该汽车的“路程”或“时间”提问，并且提出的问题要能用“二元一次方程组”解决.它要求解题者从分利用条件进行大胆而合理的猜测,发现规律,得出结论.这类题主要考察考生的发散性思维和所学知识的应用能力. 5。存在性探究题
存在性探究题一般在假设存在的基础上建立适当的数学模型(如函数、方程、不等式等)，运用一定的数学思想方法(如数形结合、分类讨论等)，通过计算或推理确定是否存在．
例5 如图16-3，在直角坐标系中，点A的
根据题意，得x?坐标为??2,0?，连结OA，将线段OA绕原点O
y 顺时针旋转120?，得到线段OB. (1)求点B的坐标；
B (2)求经过A，O，B三点的抛物线的解析式； (3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使?BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由. O A x (4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么?PAB是否有最大面积？若有，图16-3 求出此时P点的坐标及?PAB的最大面积；若没有，请说明理由.
【分析】(3)中要使?BOC的周长最小，只需在抛物线的对称轴上找点C使得OC﹢BC最小．根据“两点之间线段最短”，利用轴对称性可得点O关于抛物线对称轴的对称点为点A，连结点A点B与抛物线的对称轴的交点就是所求的点C
3?1?931(4)假设P?x,y?，则?PAB的面积可表达为?.故可得当x??时，?x???2?2?822?PAB的面积的最大值为
?13? P??,???2?4??【解】(1)B1,3
93，此时8y ??B (2)设抛物线的解析式为y?ax?x?a?，代入点B1,3，得a?因此y?C A O ??3， 3x 3223x?x 33(3)如图16-4，抛物线的对称轴是直线 x??1，当点C位于对称轴与线段AB的交点时，?BOC的周长最小.
设直线AB为y?kx?b
图16-4
?3k????k?b?3,?3， 所以?解得??23??2k?b?0.?b??3?因此直线AB为y?当x??1时，y?323x?， 333 3因此点C的坐标为?1,3．
(4）如图16-5，过P作y轴的平行线交AB于D． S?PAB?S?PAD?S?PBD?1??323??????3x?3?????2???????323x?x?3 22??y 1(yD?yP)(xB?xA)2
3223??x?x???333????A B D O P x 图16-5 3?1?93?? ?x???2?2?82?1933?1当x??时，?PAB的面积的最大值为，此时P??,? ???84?2?2【说明】本题同时涉及代数与几何知识，是综合性很强的题型．(3)中抛物线的对称轴相当于一条河流,点B 、点C相当于两个村庄，此小题的数学模型为“一条河流两个村庄”.(4)中利用图形的分割表达出三角形的面积，得到数学模型“二次函数”，再应用二次函数的最值解决问题.重点考查了学生综合分析问题、解决问题的能力及想象、推理能力．在复习时要对函数、一元二次方程及图形的变换等内容熟练掌握，并对此类题型作重点练习． 6．动手操作类探究题
例6 在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A, C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y＝x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y＝x于点M，BC边交x轴于点N（如图16-6）.
y (1)求边OA在旋转过程中所扫过的面积；
y?x (2)旋转过程中，当MN和AC平行时，求
A 正方形OABC旋转的度数； M (3)设?MBN的周长为p，在旋转正方形B OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你
的结论.
【分析】⑴边OA在旋转过程中所形成的图形
O 是以OA为半径，45?为圆心角的扇形. ⑵求正方形OABC旋转的度数即求?AOM的度数.易得?OAM≌?OCN,从而
?AOM??CON,又由于直线y=x与x轴的夹角为45?,
N C 图16-6
x
1所以?AOM?(90??45????????
2⑶延长BA交y轴于E点,得?OME≌?OMN,从而MN=ME,再由线段的等量代换的?MBN的周长p=AB﹢BC=4?
【解】(1)∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，
∴OA旋转了45?.
45??22?∴OA在旋转过程中所扫过的面积为?.
3602(2)∵MN∥AC，
∴?BMN??BAC?45?,?BNM??BCA?45?.
∴?BMN??BNM. ∴BM=BN. 又∵BA=BC， ∴AM=CN.
又∵OA=OC,?OAM??OCN, ∴?OAM≌?OCN. ∴?AOM??CON.
1∴?AOM?(90??45????????.
2∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为
45?????????????.
y (3)答：p值无变化.
y?x 【证明】延长BA交y轴于E点， EA 则?AOE＝45?－?AOM， M ?CON＝90?－45?－?AOM＝45?－B ?AOM，
∴?AOE??CON.
又∵OA=OC，?OAE＝180?－90?＝x N O 90?＝?OCN,
C ∴?AOE≌?OCN.
图16-7
∴OE=ON,AE=CN.
又∵?MOE??MON?450,OM=OM, ∴?OME≌?OMN.
∴MN=ME=AM﹢AE. ∴MN= AM﹢CN.，
∴p?MN?BN?BM?AM?CN?BN?BM?AB?BC?4.
∴在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化.
【说明】操作型问题主要借助三角板、纸片等工具进行图形的折与展、割与补、平移与旋转等变换，通过操作和理解性的思考，考察解题者的空间想象、推理和创新能力.题目既有难度中等的小型题，也有注重知识形成过程、体现数学思想方法的探索性问题.解决此问题的关键是抓住图形变化中的不变性.引导学生一步步思考，层次分明，层层递进，能较好地培养学生的探究能力. 【命题趋势与复习建议】 1．命题趋势
探究性问题命题的设置往往综合观察、实验、归纳、猜想、论证等探究性活动．通过对近几年各地中考试题的分析，不难发现如下趋势：
(1)探究题未必是难题．许多探究性问题都是以经典的基础题甚至是课本习题为背景改编而成．
(2)对于《数学课程标准》中“新增”内容或增加篇幅的内容，如概率统计、图形的变换、课题学习等，因为其“新”，故而引发了命题者的无限遐想，于是以此为背景产生了众多新试题．
(3)新课程强调学生的活动，于是，实验操作也就自然地走进了中考试题．
(4)探究问题往往是各地中考“压轴题”的命题方向，在实际探究过程中．往往要用到各种数学思想方法，如分类讨论思想、数形结合、化归思想、函数与方程思想，等等． 2．复习建议
为使学生能更好地适应探究性问题的挑战，在复习中，教师应注意以下几个方面：
(1)在课堂教学中，问题的呈现方式应具有多样性，活泼多样的题型更有利于激发学生的探究欲望．
(2)在所选课堂例题的问题设置方面，跨度不妨适当大一点，从而使得问题更具挑战性．
(3)利用经典的传统问题改编一些难度适中的探究题，让学生通过实践切实理解探究题的探究性及其一般探究方法．
(4)结合生活实践创设相应的情境，放手让学生去进行一些有关数学学科的研究性活动，以增强学生的探究能力．
【返回目录】