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22SnS(n?2). 51. 已知数列{an}中，a1?1，其前n项的和为n，且满足an?2Sn?1(Ⅰ) 求证：数列?
?1?1113是等差数列；(Ⅱ) 证明：当时，. n?2S?S?S?...?S??123n23n2S?n?52. 第117届中国进出品商品交易会（简称2015年春季广交会）将于2015年4月15日在广州举行，为了搞好接待工作，组委会在广州某大学分别招募8名男志愿者和12名女志愿者，现将这20名志愿者的身高组成如下茎叶图（单位：cm），若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”。
（Ⅰ）计算男志愿者的平均身高和女志愿者身高的中位数（保留一位小数）。
（Ⅱ）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用?表示所选志愿者中为女志愿者的人数，试写出?的分布列，并求?的数学期望。
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53. 某学校从参加2015年迎新百科知识竞赛的同学中，选取40名同学，将他们的成绩（百分制）（均为整数）分成6组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题。
（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图； （Ⅱ）从频率分布直方图中，估计本次考试的平均分；
（Ⅲ）若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[40，70）记0分，在[70，100]记1分，用X表示抽取结束后的总记分，求X的分布列和数学期望．
54. 某市工业部门计划度所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如下表： 中型企业 小型企业 合计 支持 80 240 320 不支持 40 200 240 合计 120 440 560 （Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？
（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小企业每家50万元、10万元。记X表示所发奖励的钱数，求X的分布列和数学期望：
n(ad?bc)2K?(a?b)(c?d)(a?c)(b?d) 附：
2P(K2?k0) k0 0.050 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 12
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55.如图,四棱锥P?ABCD,侧面PAD是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面
PM??(???0,1?)。 PC(Ⅰ) 求证:BC?PC；(Ⅱ) 试确定?的值,使得二面角P?AD?M的平面角余弦值为ABCD是?ABC?60?的菱形,M为棱PC上的动点,且
25。 5
56. 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝
1AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD． 2
（I）证明：DC1⊥BC；
（II）求二面角A1－BD－C1的大小．
57. 已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其中正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．
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（I）求证：???平面C1?1?；
（II）设?为直线C1?与平面C??1所成的角，求sin?的值； （Ⅲ）设?为??中点，在?C边上求一点?，使??//平面C??1，求
??的值． ?Cx2y2158. 椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，其左焦点到点P(2,1)的距离为10．
ab2(I)求椭圆C的标准方程；
(II) 若直线l:y?kx?m与椭圆C相交于A、B两点(A、B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
x2y259. 已知椭圆 C1:2?2?1(a?b?0)的两个焦点F1,F2,动点P在椭圆上，且使得
ab?F1PF2?90的点P恰有两个，动点P到焦点F1的距离的最大值为2?2。
(I)求椭圆C1的方程；
（II）如图，以椭圆C1的长轴为直径作圆C2，过直线x??22上的动点T作圆C2的两条
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切线，设切点分别为A,B，若直线AB与椭圆C1交于不同的两点C,D，求
AB的取值范围。CD
60. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2。 （Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）如图所示，直线l1与抛物线?相交于A,B两点，C为抛物线?上异于A,B的一点，且AC?x轴，过B作AC的垂线，垂足为M,过C作直线l2交直线BM于点N,设l1,l2的斜率分别为k1,k2，且k1k2?1。
① 线段MN的长是否为定值?若是定值,请求出定值;若不是定值,请说明理由; ② 求证:A,B,C,N四点共圆.
61. 已知f(x)??12ax?x?ln(1?x),其中a?0. 2(Ⅰ)求f(x)的单调递减区间；
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