江西金太阳好教育云平台——资源中心
所以
cosA?2cosC2sinC?sinA?
cosBsinB即(cosA?2cosC)sinB?(2sinC?sinA)cosB, 化简得sin(A?B)?2sin(B?C),即sinC?2sinA因此（Ⅱ）由
2sinC?2 sinAsinC?2的c?2a sinA22由b?a?c?2accosB及cosB?得4?a?4a?4a?2221,b?2 41，解得a?1，因此c?2 4又0?B??所以sinB?15115，因此s?acsinB? 424
50. 解：（Ⅰ）∵sin2A?3cos2A?2sin2B,
13?2(sin2A?cos2A)?2sin2B,
22?2sin(2A?)?2sin2B,?sin(2A?)?sin2B
33?2A????3?2B，或2A??3???2B，
由a?b，知A?B，所以2A?即A?B??3?2B不可能成立，所以2A??3???2B，
?3，
所以C????3?2? 3（Ⅱ）由（Ⅰ），C?2?3，所以sinC?， 3213S?a?b?sinC?ab
24a2?b2?c21a2?b2?3cosC??????ab?a2?b2?3?3?ab?a2?b2?2ab?ab?12ab22ab 即△ABC的面积S的最大值为
3 431
江西金太阳好教育云平台——资源中心
22Sn51. 解：（Ⅰ）当n?2时，Sn?Sn?1?，
2Sn?1Sn?1?Sn?2SnSn?111??2， ，SnSn?1??从而?1?构成以1为首项，2为公差的等差数列.
?Sn?111. ??(n?1)?2?2n?1，?Sn?2n?1SnS1（Ⅱ）由（1）可知，
当n?2时，
11111111Sn?????(?). nn(2n?1)n(2n?2)2n(n?1)2n?1n?11313?)???n?1n22n2。
1111111S?S?S?...?S?1?(1????n从而12233n2223
52. 解：（1）根据茎叶图可得：
159?169?170?175?176?182?187?191?176.1(cm)
8168?169?168.5(cm) 女志愿者身高的中位数为
2男志愿者的平均身高为
（2）由茎叶图可知，“高个子”有8人，“非高个子”有12人，而男志愿者的“高个子”有5人，女志愿者的“高个子”有3人
?的可能值为0,1,2,3，
123321故P(??0)?C5?10,P(??1)?C5C3?30,P(??2)?C5C3?15,P(??3)?C3?1,
3333C856C856C856C856即?的分布列为：
? 0 1 2 3 P 10 5630 5615 561 56 32
江西金太阳好教育云平台——资源中心
所以?的数学期望E??0?
10301519?1??2??3?? 56565656853. 解：（Ⅰ）设分数在(70,80)内的频率为x，根据频率分布直方图，
则有(0.01?0.015?2?0.025?0.005)?10?x?1，
可得x?0.3，所以频率分布直方图如图所示．
（Ⅱ）平均分：
x?45?0.1?55?0.15?65?0.15?75?0.3?85?0.25?95?0.05?71
（Ⅲ）学生成绩在?40,70?的有0.4?60?24人，
在?70,100?的有0.6?60?36人，并且X的可能取值是0，1，2。
112C24C36C2446144，P(X?1)?； P(X?0)?2??2C60295C602952C3610521P(X?2)?2??C6029559。
所以X的分布列为
X P 0 1 2 46 295144 29521 59 所以EX?0?4614421354?1??2??。 29529559295 33
江西金太阳好教育云平台——资源中心
560(80×200－40×240)2
54. 解：（Ⅰ）K2＝≈5.657，因为5.657＞5.024，
120×440×320×240
所以能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知“支持”的企业中，中小企业家数之比为1:3， 按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．
设9家获得奖励的企业中，中小企业分别为m家和n家，则（m，n）可能为 （0，9），（1，8），（2，7），（3，6）．与之对应，
X的可能取值为90，130，170，210．
0C91C8C31C32799P(X＝90)＝9＝， P(X＝130)＝＝，
9C12220C1222073C96C2108C3843C9
P(X＝170)＝9＝， P(X＝210)＝＝，
9C12220C12220
分布列如下：
X 90 130 170 210 P 错误! 错误! 错误! 错误!
10884
期望E（X）＝90×＋130×＋170×＋210×＝180。
220220220220
55. 解： (Ⅰ)取AD中点O,连结OP,OC,AC,依题意可知△PAD,△ACD均为正三角形, 所以OC?AD,OP?AD,又OC 因为BC//AD,所以BC?PC。
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知PO?AD,又平面PAD?平面ABCD, 平面PAD平面ABCD?AD,
A O B x C D y M 127
OP?O,OC?平面POC,OP?平面POC,
z P 所以AD?平面POC,又PC?平面POC,所以AD?PC, PO?平面PAD,所以PO?平面ABCD.
以O为原点,建立空间直角坐标系O?xyz如图所示,则 P0,0,3,A?0,?1,0?,D?0,1,0?,C???3,0,0,
??由PM??PC???所以AM??3?,1,PC??3,0,?3
3,0,?3可得点M的坐标为3?3?,DM???3?,0,3?3?,
???3?,?1,3?3?,
??3?x?y??n?AM?0?设平面MAD的法向量为n??x,y,z?,则?,即??n?DM?0???3?x?y????3?3?z?03?? 3??z?0 34
江西金太阳好教育云平台——资源中心
??1?z?x?解得??,令z??,得n????1,0,??,
??y?0显然平面PAD的一个法向量为OC?依题意cosn,OC?去), 所以,当??
?3,0,0, 3???1??251,解得??或???1(舍
35?n?OCnOC??2????1??32125时,二面角P?AD?M的余弦值为. 3556. 解：（I）证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形．
由于D为AA1的中点，故DC＝DC1． 又AC?1AA1，可得DC12+DC2＝CC12， 2所以DC1⊥DC．而DC1⊥BD，DC∩BD＝D，所以DC1⊥平面BCD． BC?平面BCD，故DC1⊥BC． （II）由（I）知BC⊥DC1，且BC⊥CC1，
则BC⊥平面ACC1，所以CA，CB，CC1两两相互垂直．
以C为坐标原点，CA的方向为x轴的正方向， CA为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz．由题意知A1(1,0,2)，B(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,0,2)． 则A,?1,1)，DC1?(?1,0,1), 1D?(0,0,?1)，BD?(1设n?(x,y,z)是平面A1B1BD的法向量，
z
??x?y?z?0?n?BD?0则?，即?,可取n＝(1,1,0)．
z?0???n?A1D?0同理，设m是平面C1BD的法向量，
yx??m?BD?0可取m＝(1，2，1). ???m?DC1?0 35