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cos?n,m??nm3. ?nm2故二面角A1－BD－C1的大小为30°
57. 解：（I）证明∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，
俯视图为直角梯形，∴BA,BC,BB1两两垂直。 且BC?4,BA?4,BB1?8,AN?4 ,
以BA，BB1 ，BC分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图 则N（4,4,0），B1（0, 8,0），C1（0,8,4），C（0,0,4） ∵BN?NB1=（4,4,0）·（-4,4,0）=-16+16=0
z
yxBN?B1C1=（4,4,0）·（0,0,4）=0
∴BN⊥NB1，BN⊥B1C1且NB1与B1C1相交于B1， ∴BN⊥平面C1B1N；
（II）设n2?(x,y,z)为平面NCB1的一个法向量，
??(x,y,z)?(4,4,?4)?0?n2?CN?0??则?
(x,y,z)?(?4,4,0)?0??n2?NB1?0??x?y?z?0??,取n2?(1,1,2),C1N?(4,?4,?4) ??x?y?0则sin??|(4,?4,?4)?(1,1,2)2|?;
316?16?16?1?1?4 （Ⅲ）∵M（2,0,0）．设P(0,0,a)为BC上一点,
则MP?(?2,0,a), ∵MP//平面CNB1,
∴ MP?n2?MP?n2?(?2,0,a)?(1,1,2)??2?2a?0?a?1. 又PM?平面CNB1,?MP//平面CNB1,
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∴当PB=1时MP//平面CNB1 ?
58. 解：（I）由题：e?BP1? PC3c1? ① a2y l A 左焦点 (－c,0) 到点 P(2,1) 的距离为：
P A2 x d = (2 + c) 2 + 1 2 =10 ②
F1 O B F2 由①②可解得c = 1， a = 2 ， b 2 = a 2－c 2 = 3． ∴所求椭圆 C 的方程为
x 2
4
+
y 2
3
= 1 ．
（II）设 A(x1,y1)、B(x2,y2)，将 y = kx + m代入椭圆方程得 (4k 2 + 3) x 2 + 8kmx + 4m 2－12 = 0．
8km4k 2 + 3
4m 2－124k 2 + 3
y l A P x ∴x1 + x2 = － ，x1x2 = ，且y1 = kx1 + m，y2 = kx2 +
F1 O →→B F2 A2 m．
∵AB为直径的圆过椭圆右顶点 A2(2,0) ，所以 A2A ?A2B = 0． 所以 (x1－2,y1)·(x2－2,y2) = (x1－2) (x2－2) + y1y2 = (x1－2) (x2－2) + (kx1 + m) (kx2 + m)
= (k 2 + 1) x1x2 + (km－2) (x1 + x2) + m 2 + 4
4m 2－128km 2= (k + 1)· －(km－2)· + m 2 + 4 = 0 ．
2 2 4k+ 34k+ 3
2
整理得 7m 2 + 16km + 4k 2 = 0．∴m = － k 或 m = －2k 都满足 △ > 0．
7
若 m = －2k 时，直线 l 为 y = kx－2k = k (x－2) ，恒过定点 A2(2,0)，不合题意舍去； 2222
若 m = － k 时，直线 l 为 y = kx－ k = k (x－ )， 恒过定点 ( ,0) ．
7777
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59. 解：(I)由使得?F1的1PF2?90的点P恰有两个可得b?c,a?2c；动点P到焦点F距离的最大值为2?2，可得a?c?2?2，即a?2,c?2，所以椭圆C1的方程
x2y2是??1
42（II）圆C2的方程为x2?y2?4，设直线x??22上动点T的坐标为(22,t)设
A(x1,y1)，B(x2,y2)，则直线AT的方程为x1x?y1y?4，直线BT的方程为
???22x1?ty1?4，故直线ABx2x?y2y?4，又T(22,t)在直线AT和BT上，即????22x2?ty2?4的方程为?22x?ty?4
t2?4由原点O到直线AB的距离d?得，AB?2r?d?42
2t?88?t422??22x?ty?4?22联立?x2y2，消去x得(t?16)y?8yt?16?0，设C(x3,y3),D(x4,y4)。
??1??428t?16t24(t2?8),y3y4?2则y3?y4?2， 从而CD?1? y1?y2?2t?16t?168(t?16)ABt2?4(t2?16)2?所以，设t?8?m(m?8)， CDt2?8(t2?8)11ABm3?12m2?25612256?y(0?y?)， 则，又设??1??33m8CDmmm所以
AB?1?12y?256y3，设f(y)?1?12y?256y3， CD'2所以由f(y)?12?768y?0得：y?1?1?2，所以f(y)?1?12y?256y在?0,?上单8?8?调递增即
AB ?1,2??CD?60. 解: （Ⅰ）p?2
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（Ⅱ）设A?x1,y1?,B?x2,y2?,则C?x1,?y1?,M?x1,y2?,直线l1的方程为：y?k1x?b 由??y?k1x?b2?y?4x消元整理可得：k12x2??2bk1?4?x?b2?0
4?2bk14??x?x?y?y?2?12?1k12k1??所以 ? 可求得： ?24b?yy??xx?b12122??k1k?1?直线l2的方程为：y?y1?k2(x?x1) 所以可求得N???y1?y2? ?x1,y2???k2?所以MN=
y1?y24==4. k2k1k2AB的中点E???2?bk12?2?bk1?21???? ，则的中垂线方程为： ,y???x?AB22???k1k1?k1?k1??k1?2k12?bk1?2?与BC的中垂线x轴交点为：o?? 所以?ABC的外接圆的方程为： ,0?2??k1???2k12?bk1?2?2k12?bk1?2222??x??y?(?x)?y 2222??kk11??由上可知N?x1?4,y2?
22k12?bk1?22k12?bk1?22k12?bk1?2?x1?4??x2??x1?x2?4??2?0k12k12k12
?2k12?bk1?2?2k12?bk1?2222???x?4??y?(?x)?y 122222??k1k1??所以A,B,C,N四点共圆.
61. 解: (Ⅰ)函数f(x)??212ax?x?ln(1?x)?a?0?的定义域为??1,???， 21?a??axx???ax2??1?a?x1a????f'(x)??ax?1???
x?11?xx?1
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令f?(x)?0 得x1?0,x2?
①当0?a?1时,x1?x2 ,
1?a1??1， aaf(x)与f?(x)的变化情况如下表
x f?(x) f(x) (?1,0) ? 减 0 0 1(0,?1) a1?1 a0 1(?1,??) a? 增 ? 减 f(0) 1f(?1) a所以f(x)的单调递减区间是(?1,0),(1?1,??)； ax2?0， ②当a?1时, x1?x2?0，f'(x)??x?1故f(x)的单调递减区间是(?1,??) ； ③当a?1时,?1?x2?0 ，
f(x)与f?(x)的变化情况如下表
x f?(x) f(x) 1(?1,?1) a1?1 a0 1(?1,0) a0 0 (0,??) ? 减 ? ? 减 1f(0) f(?1) 增 a1所以f(x)的单调递增减区间是(?1,?1),(0,??) .
a1综上,当0?a?1时,f(x)的单调递增减区间是(?1,0),(?1,??) ；
a1当a?1时,f(x)的单调递增减区间是(?1,?1),(0,??) ；
a当a?1时，f(x)的单调递增减区间是(?1,??). (Ⅱ)由(Ⅰ)可知
① 当0?a?1时,f(x)在(0,??)的最大值是f(?1)
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