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【考点29】棱柱、棱锥、多面体、球
2009年考题
1、（2009四川高考）如图，已知六棱锥P?ABCDEF的底面是正六边形，
PA?平面ABC,PA?2AB则下列结论正确的是（ ）
A. PB?AD
B. 平面PAB?平面PBC C. 直线BC∥平面PAE
D. 直线PD与平面ABC所成的角为45°
【解析】选D∵AD与PB在平面的射影AB不垂直，所以A不成立，又，平面PAB⊥平面PAE，所以
平面PAB?平面PBC也不成立；BC∥AD,BC∥平面PAD, ∴直线BC∥平面PAE也不成立。在Rt?PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°∴D正确.
2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与2、（2009全国Ⅱ） 已知正四棱柱ABCD?A1BC11D1中，AA1=
CD1所形成角的余弦值为（ ）
（A）
1310310 (B) (C) (D)
551010【解析】选C.方法一：利用平移，CD1∥BA1,因此求△EBA1中∠A1BE即可，易知EB=2,A'E=1,A1B=5,
故由余弦定理求cos∠A1BE=310，或由向量法可求。 103、（2009全国Ⅰ）已知三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（ ） （A）
3357 （B） （C） (D)
4444AB与CC1所成的角,【解析】选D.设BC的中点为D，连结A1D，AD，易知???A1AB即为异面直线
1
由三角余弦定理，易知cos??cos?A1AD?cos?DAB?C1A1B1ADAD3??.故选D. A1AAB4CDAB
ABCD成60°4、（2009北京高考）若正四棱柱ABCD?A角， 1BC11D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD的距离为 （ ） 则AC11到底面
A．3 B．1 3C．2 D．3 【解析】选D.依题意，?B1AB?60?，如图，
BB1?1?tan60??3，故选D.
5、（2009重庆高考）在正四棱柱ABCD?A1BC11D1中，顶点B1到对角线BD1和到平面A1BCD1的距离分别为h和d，则下列命题中正确的是（ ） A．若侧棱的长小于底面的边长，则
h的取值范围为(0,1) dh223的取值范围为(,) d23h23的取值范围为(,2) d3h23的取值范围为(,??) d3B．若侧棱的长小于底面的边长，则
C．若侧棱的长大于底面的边长，则
D．若侧棱的长大于底面的边长，则
【解析】选C.设底面边长为1，侧棱长为?(??0)，
过B1作B1H?BD1,B1G?A1B。
22,B??2?2， 在Rt?BB1D1中，B1BD1D11?11D1由三角形面积关系得hh??BBHH??11
BD?BB1BD??BB22??1111??BDBBDD??22??22 1112
设在正四棱柱中，由于BC?AB,BC?BB1，
所以BC?平面AAAB1， 1B1B，于是BC?B1G，所以B1G?平面A1B1CD故B1G为点到平面A1BCD1 的距离，
在Rt?A1B1B中，又由三角形面积关系得d?B1G?A1B1?BB1??A1B?2?1
h2??2?11于是?，于是当??1， ?2?1?22d??2??2所以??2?3,221h23?1?2?1，所以?(,1)2). 3??2d36、（2009四川高考）如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点，
?ABC=90°，BA?BC,球心O到平面ABC的距离是
32，则 2B、C两点的球面距离是（ ）
A. C.
? B. ? 34? D.2? 3【解析】选B.∵AC是小圆的直径。所以过球心O作小圆的垂线，垂足O′是AC的中点。
O′C＝32?(?32232，AC＝32，∴BC＝3，即BC＝OB＝OC。∴?BOC? ， )?322则B、C两点的球面距离＝
?3?3??.
7、（2009陕西高考）若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为(A)2322 (B) (C) (D)
3363【解析】选B.由题意知 以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体为正八面体（即两个同底同高同棱长的正
四棱锥），所有棱长均为1，其中每个正四棱锥的高均为
2，故正八面体的体积为2122, 故选B. V?2V正四棱锥=2??12?=3238、（2009上海高考）如图，若正四棱柱ABCD?A1BC11D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与
3
AD所成角的大小是______________（结果用反三角函数表示）.
【解析】因为AD∥A1D1，异面直线BD1与AD所成角就是BD1与A1D1所成角，即∠A1D1B， 由勾股定理，得A1B＝25，tan∠A1D1B＝5，所以，∠A1D1B＝arctan5。 答案:arctan5
9、（2009四川高考）如图，已知正三棱柱ABC?A1B1C1的各条 棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所 成的角的大小是 。
A1
B1 C1
【解析】作BC的中点N，连接AN，则AN⊥平面BCC1B1，
连接B1N，则B1N是AB1在平面BCC1B1的射影，∵B1N⊥BM， ∴AB1⊥BM.即异面直线AB1和BM所成的角的大小是90° 答案:90°
A M
B
C
10、(2009湖南高考)在半径为13的球面上有A , B, C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则
（1）球心到平面ABC的距离为________；
（2）过Ａ，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角为（锐角）的正切值为
【解析】（1）由?ABC的三边大小易知此三角形是直角三角形，所以过A,B,C三点小圆的直径即为10，
222也即半径是5，设球心到小圆的距离是d，则由d?5?13，可得d?12。（2）设过ABC三点的截面
圆的圆心是O1,AB中点是D点，球心是O点，则连三角形O1OD，易知?ODO1就是所求的二面角的一个平面角，O1D?O1A?(答案:（1）12 （2）3
11、（2009全国Ⅱ）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C。若圆C的面积等于
2OO112AB2??3，即正切值是3。 )?4，所以tan?ODO1?O1D42w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 7?，则球O的表面积等于 44
由4?r【解析】设球半径为R，圆C的半径为r，由
因为OC?2?7?7,得r2?. 442R2222127??R。由R2?(R)?r?R?得R2?2. 224484故球O的表面积等于8?. 答案:8?.
12、（2009全国Ⅰ）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M，若圆M的面积为3?，则球O的表面积等于__________________.
【解析】设球半径为R，圆M的半径为r，则?r?3?，即r?3由题得R?(22222R2)?3， 2所以R?4?4?R?16?。
R2?4?4?R2?答案: 16?
13、（2009陕西高考）如图球O的半径为2，圆O1是一小圆，
O1 A O B OO?2，A、B是圆O1上两点，若?AO1B=1两点间的球面距离为 .
?，则A,B 2【解析】由OO?2,OA?OB=2由勾股定理在圆O1中 1则有O1A?O1B?2, 又?AO1B=
? 则AB?2 所以在?AOB中， 2OA?OB?AB?2，则?AOB为等边三角形，那么?AOB?60?
由弧长公式l?r?(r为半径)得A,B两点间的球面距离lAB?r??2?答案:
?3?2?. 32? 314、（2009上海高考）已知三个球的半径R1，R2，R3满足R1?2R2?3R3，则它们的表面积S1，S2，
S3，满足的等量关系是___________.
【解析】S1?4?R21，同理：S2?2?R2S1?2?R1，即R1＝S3?2?R3，
S12?，R2＝
S22?，
R3＝
S32?，由R1?2R2?3R3得S1?2S2?3S3
答案:S1?2S2?3S3
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