又BE?平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.
P
（Ⅱ）延长AD、BE相交于点F，连结PF.
G 过点A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知 平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE.
A
在Rt△ABF中，因为∠BAF＝60°，所以，AF=2AB=2=AP.
B
在等腰Rt△PAF中，取PF的中点G，连接AG. 则AG⊥PF.连结HG，由三垂线定理的逆定理得，
PF⊥HG.所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）. 在等腰Rt△PAF中，AG?2PA?2 2在Rt△PAB中， AH?APAB?PBAPAB?2?25.
55AP2?AB2H D E C
F
25所以，在Rt△AHG中， sin?AGH?AH?5?10.
AG52故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是arcsin10.
514、（2008陕西高考）三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，?BAC?90，A1A?平面ABC，A1A?3，AB?2，AC?2，A1C1?1，BD?1．
DC2（Ⅰ）证明：平面A1AD?平面BCC1B1；
B1
（Ⅱ）求二面角A?CC1?B的大小．
【解析】（Ⅰ）
A1
C1
A1A?平面ABC，BC?平面ABC，
A B
D C
?BC?6， ?A1A?BC．在Rt△ABC中，AB?2，AC?2，BD:DC?1:2，?BD?6，又BD?3?AB，
3AB3BC?△DBA∽△ABC，??ADB??BAC?90，即AD?BC．
又A1AAD?A，?BC?平面A1AD，
A1 B1
C1
E
BC?平面BCC1B1，?平面A1AD?平面BCC1B1．
（Ⅱ）如图，作AE?C1C交C1C于E点，连接BE， 由已知得AB?平面ACC1A1．
A
F B
（）
D C
16
?AE是BE在面ACC1A1内的射影．
由三垂线定理知BE?CC1，
??AEB为二面角A?CC1?B的平面角．
过C1作C1F?AC交AC于F点，
则CF?AC?AF?1，C1F?A1A?3，??C1CF?60． 在Rt△AEC中，AE?ACsin60?2?32?3．
在Rt△BAE中，tanAEB?AB?2?6AE33．
??AEB?arctan6，即二面角A?CC631?B为arctan3．
15、（2008全国Ⅱ）如图，正四棱柱ABCD?AD1B1C1D1中，1 C1 A1 B1 AA1?2AB?4，
点E在CC1上且C1E?3EC． E
（Ⅰ）证明：AC?平面BED； D C
1A B （Ⅱ）求二面角A1?DE?B的大小．
【解析】依题设，AB?2，CE?1．
（Ⅰ）连结AC交BD于点F，则BD?AC． 由三垂线定理知，BD?A1C．
在平面A1CA内，连结EF交A1C于点G， D1 C1
由于
AA1FC?ACA1 BCE?22， 1 故Rt△A1AC∽Rt△FCE，?AAC1??CFE， H ?CFE与?FCAG E
1互余．
D A F B C 于是A1C?EF．
A1C与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，
所以A1C?平面BED．
17
（Ⅱ）作GH?DE，垂足为H，连结A1H． 由三垂线定理知A1H?DE，
故?A1HG是二面角A1?DE?B的平面角． EF?CF2?CE2?3， CG?CE?CF?EF2，
EG?CE2?CG2?3．
33EG?1，GH?1?EF?FD?2．
3DEEF315又AC?AC?CG?56． ?AA12?AC2?26，AG1113tan?A1HG?AG1?55． HG所以二面角A1?DE?B的大小为arctan55．
2007年考题
1、（2007陕西高考）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ） A．
33 4 B．3 3C．3 4D．3 12【解析】选C.正三棱锥的高为1，由平面几何知识知底面边长为
3，
体积为
133，选C. ?(3)2?1?3442．（2007全国Ⅰ）如图，正棱柱ABCD?A1BC11D1中，AA1?2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )
A．
1234 B． C． D． 5555D1A1B1C1【解析】选D.如图，连接BC1，A1C1，∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成
的角，设AB=a，AA1=2a，∴ A1B=C1B=5a，A1C1=2a，∠A1BC1的 余弦值为
4，选D。 5ADBC 18
3、（2007全国Ⅱ）已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于( ) (A)
6 4 (B)
102 (C) 42 (D)
3 2【解析】选A.已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，取A1C1的中点D1，连接B1D1，AD1，
36∠B1AD1是AB1与侧面ACC1A1所成的角，sin?B1AD1?2?，选A。
424、（2007湖南高考）如图，在正四棱柱 ABCD?A1BC11D1 中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则以下结论中不成立 的是( )
A．EF与BB1垂直 B. EF与BD垂直 C. EF与CD异面 D. EF与A1C1异面
【解析】选D.连B1C，则B1C交BC1于F且F为BC1中点，
三角形B1AC中EF//1AC，所以EF∥平面ABCD，而B1B⊥面ABCD，∴B1B?AC 2所以EF与BB1垂直；又AC⊥BD，所以EF与BD垂直，EF与CD异面。 由EF//1AC，AC∥A1C1得EF∥A1C1. 25、(2007安徽高考)把边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角,折成直二面角后,在A,B,C,D四点所在的球面上,B与D两点之间的球面距离为( ) (A)2?
【解析】选C.把边长为
2(B)?
(C)
? 2(D)
? 32的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角,折成直二面角后,在A,B,C,D四点所
1个大圆4在的球面上,球的半径为1，B与D两点恰好是两条垂直的半径的端点，它们之间的球面距离为周长，即
?，选C。 26、（2007安徽高考）半径为1的球面上的四点A,B,C,D是正四面体的顶点，则A与B两点间的球面 距离为( )
? （A）arccos(
1136) （B）arccos(?) （C）arccos(?) （D）arccos(?)
343319
【解析】选C.半径为1的球面上的四点A,B,C,D是正四面体的顶点，设AB=a，P为△BCD的中心，
O为球心，则OB=1，OP=
1326222，BP=a，由OB?OP?BP解得a?， 33311)，∴ A与B两点间的球面距离为arccos(?)，选C。 33∴ 由余弦定理得∠AOB=arcos(－
7、（2007福建高考）顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD－A’B’C’D’中，AB＝1，AA’＝错误！未找到引用源。，
则A、C两点间的球面距离为（ ）
A 错误！未找到引用源。 B 错误！未找到引用源。 C 错误！未找到引用源。 D 错误！未找到引用源。
【解析】选B.正四棱柱的对角线为球的直径，由4R=1+1+2=4得R=1，AC=2
所以∠AOC=2?R2?R2，?2（其中O为球心）A、C两点间的球面距离为
?，选B. 2O的表面上，E，F分别是8、（2007湖南高考）棱长为1的正方体ABCD?A1BC11D1的8个顶点都在球
棱AA1，DD1上的点，则直线EF被球O截得的线段长为（ ）
A．
2 2B．1
C．1?2 2D．2 2【解析】选D.正方体对角线为球直径，所以R?3，在过点E、F、O的球的大圆中， 4由已知得d=
13，r?,R?22312，所以EF=2r=2。 ??442H，则以下9、（2007江西高考）如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点
命题中，错误的命题是（ ） ．．Ａ．点H是△A1BD的垂心 Ｂ．AH垂直平面CB1D1 Ｃ．AH的延长线经过点C1 Ｄ．直线AH和BB1所成角为45
【解析】选D.因为三棱锥A—
A B D
C H A1 B1 C1
D1
A1BD是正三棱锥，故顶点A在底面的射映是底面中心，A正确；面A1BD∥
面CB1D1，而AH垂直平面A1BD，所以AH垂直平面CB1D1，B正确；根据对称性知C正确。选D.
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