（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1BD； （Ⅱ）求二面角A?A1D?B的大小； （Ⅲ）求点C到平面A1BD的距离．
【解析】 (Ⅰ）取BC中点O，连结
AO．
△ABC为正三角形，?AO⊥BC．
正三棱柱ABC?A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1， ?AO⊥平面BCC1B1．
A
A1 连结B1O，在正方形BB1C1C中，O，D分别为
F
C
G BC，CC1的中点， D CO 1?B1O⊥BD，
B
B1?AB1⊥BD．
在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B，
?AB1⊥平面A1BD．
（Ⅱ）设AB1与A1B交于点
G， 在平面A1BD中，作GF⊥A1D于
F，连结AF， 由（Ⅰ）得AB1⊥平面A1BD．?AF⊥A1D，
?∠AFG为二面角A?A1D?B的平面角．
在△AA1D中，由等面积法可求得AF?455， 又
AG?12AB?sin∠AFG?AGAF?245?101?2，4． 5所以二面角A?A101D?B的大小为arcsin4． （Ⅲ）△A1BD中，BD?A1D?5，A1B?22，?S△A1BD?6，S△BCD?1．
26
在正三棱柱中，A1到平面BCC1B1的距离为3．设点C到平面A1BD的距离为d． 由VA1?BCD?VC?A1BD得
1S3?13△BCD3S△A1BDd，
?d?3S△BCDS?2．?点C到平面A21BD的距离为． △A1BD2226、（2007辽宁高考）如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，
?ACB?90，AC?BC?a，D，E分别为棱AB，BC
的中点，M为棱AA1上的点，二面角M?DE?A为30． （I）证明：A1B1?C1D；
（II）求MA的长，并求点C到平面MDE的距离．
【解析】（I）连接CD,因为三棱柱
ABC?A1B1C1是直角三棱柱,
所以CC1∥平面ABC，所以CD为C1D在平面ABC内的射影， 因为ABC中，AB=BC,D为AB中点，所以AB?CD， 所以AB?C1D因为A1B1∥AB,所以A1B1?C1D.
（II）过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连结MF， ∵D、E分别为AB、CB的中点， ∴DE//AC，
又∵AF//CE，CE?AC， ∴AF?DE ∵MA?平面ABC
∴AF为MF在平面ABC内的射影。 ∴MF?DE
∴?MAF为二面角M?DE?A的平面角，?MAF?30 在Rt?MAF中，AF?12BC?a2，?MFA?30， ∴AM?36a。………………………………8分 设C到平面MDE的距离为h。 ∵VM?CDE?VC?MDE
A1 C1
M
B1
A
C D
E B
A1 C1
M B1
A C
F D
E B
27
∴S?CDE?MA?131S?MDE?h 3S?CDE1a23?CE?DE??MA?a， 28611AF32DE?MF?DE??a 22cos3012S?MDE?1a23132∴??a??a?h， 386312∴h?aa，即C到平面MDE的距离为。…………………………12分 4427、（2007全国Ⅱ）如图，在四棱锥S?ABCD中，底面ABCD为正方形， 侧棱SD⊥底面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点． （1）证明EF//平面SAD；
（2）设SD?2DC，求二面角A?EF?D的大小．
【解析】（1）作FG//DC交SD于点G，则G为SD的中点．
S
1∥CD，又CD ∥AB，故FG ∥AE，AEFG为平行四边形． 连结AG，FG 2EF//AG，又AG?平面SAD，EF?平面SAD．
所以EF∥平面SAD．
H F
G
M C
△ADG为等腰直角三角形． （2）不妨设DC?2，则SD?4，DG?2，取AG中点H，连结DH，则DH⊥AG． 又AB⊥平面SAD，所以AB⊥DH，而AB所以DH⊥面AEF．
取EF中点M，连结MH，则HM⊥EF． 连结DM，则DM⊥EF．
故?DMH为二面角A?EF?D的平面角
A
D E
B
AG?A，
tan?DMH?DH2??2． HM1所以二面角A?EF?D的大小为arctan2．
28