15、（2009天津高考）若一个球的体积为43?，则它的表面积为 ． 【解析】由4?R3?43?得R?3，所以S?4?R2?12?．
3答案:12?
216、（2009江西高考）正三棱柱ABC?A1B1C1内接于半径为的球，若A,B两点的球面距离为?，则正
三棱柱的体积为 ． 【解析】由条件可得?AOB?所以所求体积等于8． 答案:8
17、（2009福建高考）如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD＝2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点. （Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求异面直线PB与CD所成角的大小；
（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为3？ 2若存在，求出
A B
O C
D
P
?2，所以AB?22，O到平面ABC的距离为
23， 3AQ的值；若不存在，请说明理由. QD【解析】（Ⅰ）在△PAD中PA=PD,O为AD中点，所以PO⊥AD,
又侧面PAD⊥底面ABCD,平面PAD所以PO⊥平面ABCD.
平面ABCD=AD, PO?平面PAD，
（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中、BC∥AD，AD=2AB=2BC, 有OD∥BC且OD=BC,所以四边形OBCD是平行四边形， 所以OB∥DC.
由（Ⅰ）知，PO⊥OB,∠PBO为锐角， 所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角. 因为AD=2AB=2BC=2,在Rt△AOB中， AB=1,AO=1,所以OB＝2，
在Rt△POA中，因为AP＝2，AO＝1， 所以OP＝1，
在Rt△PBO中，tan∠PBO＝PO?1?2,?PBO?arctan2.
BO222
6
P
A B
Q O C
D
所以异面直线PB与CD所成的角是arctan2.
2（Ⅲ）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为3. 2设QD＝x，则S?DQC?1x，由（Ⅱ）得CD=OB=2，
2在Rt△POC中， PC?OC2?OP2?2, 所以PC=CD=DP, S?PCD?3(2)2?3,
42由Vp-DQC=VQ-PCD,得2，所以存在点Q满足题意，此时
AQ1?. QD318、（2009湖北高考）如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形， SD⊥平面ABCD,SD＝AD＝a,点E是SD上的点，且DE＝
?a(0
(Ⅰ)求证：对任意的??（0、1），都有AC⊥BE: (Ⅱ)若二面角C-AE-D的大小为600，求?的值。
【解析】（Ⅰ）连接BD，由底面是正方形可得AC?BD。
?SD?平面ＡＢＣＤ，?BD是BE在平面ABCD上的射影，
由三垂线定理得AC?BE.
(II) ?SD?平面ABCD，ＣＤ?平面ＡＢＣＤ，? SD?CD.
又底面ＡＢＣＤ是正方形，? ＣD?ＡD，又ＳＤ?AD=D，?CD?平面SAD。 过点D在平面SAD内做DF?AE于F，连接CF，则CF?AE， 故?CFD是二面角C-AE-D 的平面角，即?CFD=60° 在Rt△ADE中，?AD=a, DE= ?a， AE=a于是，DF=
?2?1 。
AD?DE?a ?2AE??1DF??
2CD??1在Rt△CDF中，由cot60°=
7
得
???12?3， 即3?2?3=3? 3??(0,1]， 解得?=
2. 2A1 C1 19、（2009陕西高考）如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中， AB=1，
AC?AA1?3，∠ABC=600.
(Ⅰ)证明：AB?AC； 1（Ⅱ）求二面角A—AC1—B的大小。
【解析】（Ⅰ）因为三棱柱
B1 A C ABC?A1B1C1为直三棱柱，所以AB?A1A
B 在ABC中AB?1,AC?3,?ABC?600 由正弦定理得?ACB?30,所以?BAC?90
00A1 C1 ,, 即AB?AC，所以AB?ACC1A1又因为AC 1，所以AB?AC11?ACC1A1B1 D D，连BD， （Ⅱ）如图所示，作AD?AC1交AC1于
由三垂线定理可得BD?AC1
所以?ADB为所求角，在Rt?AAC中， 1B A C AD?A1AgAC3g36， ??AC261ABAB66??， ADAD338
?ADBtanABDABD??在Rt?BAD中，tan
所以?ADB?arctan63， 即二面角A—AC1—B?的大小为ADB?arctan63. 20、（2009四川高考）如图，平面ABEF?平面ABCD， 四边形ABEF与ABCD都是直角梯形， ?BAD??FAB?900, BC//12AD，BE//12AF
（Ⅰ）证明：C,D,F,E四点共面；
（Ⅱ）设AB?BC?BE，求二面角A?ED?B的大小；
【解析】（Ⅰ）延长DC交AB的延长线于点G，
由BC//12AD得GBGA?GCGD?BCAD?12 延长FE交AB的延长线于G'
同理可得G'EG'BG'F?G'A?BEAF?12 故G'BGB'?，即G与G'GAGA重合 因此直线CD、EF相交于点G，即C,D,F,E四点共面。 （Ⅱ）设AB?1，则BC?BE?1，AD?2
取AE中点M，则BM?AE，又由已知得，AD?平面ABEF 故AD?BM，BM与平面ADE内两相交直线AD、AE都垂直。 所以BM?平面ADE，作MN?DE，垂足为N，连结BN 由三垂线定理知BN?ED，?BNM为二面角A?ED?B的平面角。 BM?2，MN?1?AD?AE?322DE3
故tan?BNM?BMMN?62 所以二面角A?ED?B的大小arctan62 21、（2009北京高考）如图，在三棱锥P?ABC中，
PA?底面ABC,PA?AB,?ABC?60?,?BCA?90?，
点D，E分别在棱PB,PC上，且DE//BC （Ⅰ）求证：BC?平面PAC；
F
E
A D B
C F
E N M A D B C G(G/)
9
（Ⅱ）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的大小； （Ⅲ）是否存在点E使得二面角A?DE?P为直二面角？并说明理由.
【解析】（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.
又?BCA?90，PA∴BC⊥平面PAC.
?AC=A ，∴AC⊥BC.
（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，
∴DE?1BC， 2又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC， ∴DE⊥平面PAC，垂足为点E. ∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角， ∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB， ∴△ABP为等腰直角三角形，∴AD?1AB， 21AB. 2?∴在Rt△ABC中，?ABC?60，∴BC?∴在Rt△ADE中，sin?DAE?DEBC2， ??AD2AD42. 4∴AD与平面PAC所成的角的大小arcsin（Ⅲ）∵DE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，
又∵AE?平面PAC，PE?平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE， ∴∠AEP为二面角A?DE?P的平面角， ∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴?PAC?90.
∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时?AEP?90.
22、（2009浙江高考）如图，DC?平面ABC，EB//DC，AC?BC?EB?2DC?2，?ACB?120，
??P,Q分别为AE,AB的中点．
（I）证明：PQ//平面ACD；
（II）求AD与平面ABE所成角的正弦值．
【解析】（Ⅰ）连接DP,CQ， 在?ABE中，P,Q分别是AE,AB的中点，
所以PQ//
11BE， 又DC//BE，所以PQ//DC，又PQ?平面ACD ，
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