DC?平面ACD， 所以PQ//平面ACD
（Ⅱ）在?ABC中，AC?BC?2,AQ?BQ，所以CQ?AB 而DC?平面ABC，EB//DC，所以EB?平面ABC
而EB?平面ABE， 所以平面ABE?平面ABC， 所以CQ?平面ABE 由（Ⅰ）知四边形DCQP是平行四边形，所以DP//CQ
所以DP?平面ABE， 所以直线AD在平面ABE内的射影是AP， 所以直线AD与平面ABE所成角是?DAP 在
Rt?APD中，
AD?AC2?DC2?22?12?5 ，
DP?CQ?2sin?CAQ?1
所以sin?DAP?
2008年考题
1、（2008江西高考）连结球面上两点的线段称为球的弦。半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于27、43，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题： ①弦AB、CD可能相交于点M ②弦AB、CD可能相交于点N ③MN的最大值为5 ④MN的最小值为1 其中真命题的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】选C. 解：①③④正确，②错误。易求得M、N到球心O的距离分别为3、2，若两弦交于N，则
DP15. ??AD55OM⊥MN，Rt?OMN中，有OM?ON，与已知条件所求的OM＞ON矛盾。当M、O、N共线时分别
取最大值5最小值1。
2、（2008四川高考）设M,N是球心为O的半径OP上的两点，且NP?MN?OM，分别过N,M,O作垂线于OP的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：( ) （A）3,5,6 （B）3,6,8 （C）5,7,9 （D）5,8,9
【解析】选D.设分别过N,M,O作垂线于OP的面截球得三个圆的半径为r1,r2,r3，球半径为
R，则：
r12?R2?(2R)2?5R2,r22?R2?(1R)2?8R2,r32?R2，
3939∴r12:r22:r32?5:8:9∴这三个圆的面积之比为：5,8,9故选D. 3、（2008重庆高考）如图，体积为V的大球内有4个小球， 每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，
11
4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点.V1 为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V2为大球内、小 球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是( ) A．V2?V
2B．V2?V
2C．V1?V2
2
D．V1?V2
【解析】选D.设大球半径为R，小球半径为R，根据题意
VV?4?R3?4?4?(R)3?1?2?V2
3324所以V2?于是V2?V14?3?R?4?4?(R)3?2?R3?V 233232V1V?即2V2?V1?V所以V2?V1?V?V2?0. 224、（2008湖南高考）长方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点在同一球面上，且AB=2,AD=3，AA1=1, 则顶点A、B间的球面距离是( )
A.22?
【解析】选C.
B.2?
C.2?
2D.
2? 4A1
D1 C1
B1
C B
BD1?AC1?2R?22,?R?2,设
D O BD1AC1?O,则OA?OB?R?2,??AOB??,
2?l?R??2??,故选C.
2A
5、（2008全国Ⅱ）正四棱锥的侧棱长为23，侧棱与底面所成的角为60?，则该棱锥的体积为（ ） A．3
B．6
C．9
D．18
【解析】选B.高h?23sin60?＝3，又因底面正方形的对角线等于23，
∴底面积为S?2?1?23?3?6，∴体积V?1?6?3?6.
236、（2008湖北高考）用与球心距离为1的平面去截面面积为?，则球的体积为( ) A.32? B.8? C.82? D. 82? 333【解析】选D.截面面积为??截面圆半径为1，又与球心距离为1?球的半径是2，
3所以根据球的体积公式知V?4?R?82?，故D为正确答案．
337、（2008辽宁高考）在体积为43?的球的表面上有A,B,C三点,AB?1,BC?2,A,C两点的球面距离 为3?,则球心到平面ABC的距离为______________.
3
12
【解析】设球的半径为
R,则V?4?R3?43?,∴R?3.设A、C两点对球心张角为?，则
3AC?R??3??3?,∴???,∴AC?3,∴AC为ABC所在平面的小圆的直径，∴?ABC?90,设ABC333所在平面的小圆圆心为O'，则球心到平面ABC的距离为d?OO'?R2?BO'2?3?()2?3.
22答案：3
28、（2008陕西高考）长方体ABCD?A1B1C1D1的各顶点都在球O的球面上，其中AB:AD:AA1?1:1:2． A1B两点的球面距离记为m，A1D1两点的球面距离记为n，则m的值为 ．
n【解析】设AB?a,则AD?a,AA1?2a?球的直径2R?a2?a2?2a2?2a，即R?a
D1 A1 O D A
B B1
C1
则?OAB是等边三角形，?m?1?2?a?1?a，
63在?AOD1中，OA?OD1?a,AD1?3a ?AOD1?120?n?1?2?a故m?1
3n2答案：1C
2
9、（2008福建高考）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 .
【解析】依题可以构造一个正方体,其体对角线就是外接球的直径.2r?3?3?3?3,
S?4?r2?9?
答案：9?
10、（2008全国Ⅱ）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：
充要条件① ； 充要条件② ． （写出你认为正确的两个充要条件）
答案：正确一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．
11、（2008安徽高考）如图，在四棱锥 O?ABCD中，底面ABCD四边长为1的
O
菱形，?ABC??, OA?底面ABCD,
4 OA?2,M为OA的中点。
M A D 13
B
C （Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小； （Ⅱ）求点B到平面OCD的距离。
【解析】（Ⅰ）
CD‖AB,
∴?MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）
作AP?CD于P,连接MP O ∵OA?平面ABCD，∴CD?MP
?ADP??4,?DP?22 M ∵MD?MA2?AD2?2，
Q A D ∴cos?MDP?DP?1MD2,?MDC??MDP??3
B
C P
所以AB与MD所成角的大小为?3
（Ⅱ）．∵AB‖平面OCD,∴点A和点B到平面OCD的距离相等， 连接OP,过点A作AQ?OP 于点Q， ∵AP?CD,OA?CD,∴CD?平面OAP,
∵AQ?平面OAP,∴AQ?CD
又 ∵AQ?OP,∴AQ?平面OCD,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离
∵OP?OD2?DP2?OA2?AD2?DP2?4?1?12?322，AP?DP?22 2∴AQ?OAAP22?2OP?323，所以点B到平面OCD的距离为23 212、（2008北京高考）如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥BC. （Ⅰ）求证：PC⊥AB；
P
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小； （Ⅲ）求点C到平面APB的距离.
E 【解析】（Ⅰ）取AB中点D，连结PD，CD.
A
B
∵AP=BP，∴PD⊥AB C
∵AC=BC,∴CD⊥AB.
∵PD∩CD=D,∴AB⊥平面PCD. ∵PC∩平面PCD.∴PC⊥AB.
（Ⅱ）∵AC=BC，AP＝BP，∴△APC≌△BPC.
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又PC⊥BC.∴PC⊥AC.
又∠ACB=90°,即AC⊥BC.且AC∩PC＝C,∴BC⊥平面PAC. 取AP中点E，连结BE，CE.∵AB＝BP，∴BE⊥AP ∵EC是BE在平面PAC内的射影.∴CE⊥AP. P
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.
在△BCE中，∠BCE＝90°，BC＝2，BE＝3E H 2AB＝6，
∴sin∠BEC=BCA
D BE?63.
C
∴二面角B-AP-C的大小为arcsin63. (Ⅲ)由（Ⅰ）知AB⊥平面PCD， ∴平面APB⊥平面PCD. 过C作CH⊥PD，垂足为H. ∵平面APB∩平面PCD＝PD， ∴CH⊥平面APB.
∴CH的长即为点C到平面APB的距离， 由（Ⅰ）知PC⊥AB，又PC⊥AC，且AB∩AC＝A. ∴PC⊥平面ABC.CD?平面ABC.∴PC⊥CD. 在Rt△PCD中，CD＝12AB?2,PD?32PB?6,
∴PC＝PD2?CD2?2.∴CH=PCPD?CD?233.
∴点C到平面APB的距离为233. 13、（2008湖北高考）如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;
（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.
【解析】（Ⅰ）如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，
△ BCD是等边三角形.因为E是CD的中点， △ 所以BE⊥CD,又AB∥CD,所以BE⊥AB.
又因为PA⊥平面ABCD，BE?平面ABCD， 所以PA⊥BE.而PAAB=A,因此BE⊥平面PAB.
B
P
A
D E B
C
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