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第28章：锐角三角函数
一、基础知识
1.定义：如图在△ABC中，∠C为直角，
我们把锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA；sinA= sinA?a c把锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA；cosA?b ca b把锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA 。tanA?把锐角∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cosA。cosA?2、三角函数值
（1）特殊角的三角函数值 角度 0° 三角函数 sinA 0 30° 45° 60° 90° 1 b a1 23 23 32 23 2cosA 1 12 221 0 tanA 0 3 不存在 （2）锐角三角函数值的性质。 锐角三角函数的大小比较：
在0??A?90?时，随着A的增大，正弦值越来越大，而余弦值越来越小. 即：sinA是增函数，cosA减函数。
1锐角三角函数值都是正数。 ○
2当角度在090间变化时:正弦、正切值随着角度的增大而增大；余弦、余切随着角度的增大而减小。 ○
3、 同角、互余角的三角函数关系：
1、同角三角函数关系：sinA?cosA?1.tan??22sin?cos?；cot??；tan??cot??1 cos?sin?2、互余锐角的三角函数关系：sinA?cosB?cos(90??A)，cosA?sinB?sin(90??A)。
解直角三角形:由直角三角形中除直角以外的两个已知元素（其中至少有一条边），求出所有未知元素的过
程，叫做解直角三角形。
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直角三角形的可解条件及解直角三角形的基本类型 已知条件 一条边和一个锐角 斜边c和锐角A 直角边a和锐角A B=90°-A，b=acotA，c?两条边 两条直角边a和b 解法 B=90°-A，a=csinA，b=ccosA，s=csinAcosA 2asinA，s?12acotA 2c?直角边a和斜边c a2?b2，由tanA?a1，求角A，B=90°-A，S=ab b2a122，求 角A，B=90°-A，S=ac?a c2b?c2?a2，由sinA?知识梳理：
二、精典例题
第一部分：锐角三角函数的运算
一、直角三角形中锐角的正弦、余弦的概念与表达式：
例1：如图所示，则sinD???,cosD???,sinE???,cosE???。 [考点透视]本例主要是考查锐角三角函数的概念 [参考答案]sinD=
313213213313，cosD=，sinE=，cosE=。 13131313例2：在Rt?ABC中，如果各边长度都扩大4倍，则锐角A的正弦值和余弦值（）
（A）都没有变化 （B）都扩大4倍 （C）都缩小4倍 （D）不能确定
[考点透视]本例主要是考查锐角三角函数的定义和性质，通过计算可以知道正弦值和余弦值，只与直角三角形中锐角的大小有关。 [参考答案].故应选A.
例3：已知：?A为锐角，并且sinA?5，则cosA的值为 . 12第 2 页 共 30 页
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[考点透视]本例主要是考查锐角三角函数的定义。 [参考答案] cosA?12 13例4：（08年密云一模）6．正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的值为
Ａ．A 5 5 Ｂ．25 5
1 Ｄ．2 2 [考点透视]本例主要是考查锐角三角函数的定义
[参考答案] D
Ｃ．
O B
例5：.某地有一居民楼,窗户朝南,窗户的高度为hm,此地一年中的冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹
角最小为a,夏至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最大为 (如图1-15-23.小明想为自己家的窗户设计一个直角三角形遮阳篷BCD.要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光, 又能最大限制地使冬天温暖的阳光射入室内.小明查阅了有关资料,获得了所在地区∠α和∠β 的相应数据:∠α=24 °36′,∠β=73°30′,小明又得窗户的高AB=1.65m.若同时满足下面两个条件,(1) 当太阳光与地面的夹角为α时,要想使太阳光刚好全部射入室内;(2) 当太阳光与地面的夹角为β时,要想使太阳光刚好不射入室内,请你借助下面的图形(如图), 帮助小明算一算,遮阳篷BCD中,BC和CD的长各是多少?(精确到0.01m) 以下数据供计算中选用
sin24°36′=0.416 cos24°36′=0.909 tan24°36′=0.458 cot24°36′=2.184 sin73°30′=0.959 cos73°30′=0.284 tan73°30′=3.376 cot73°30′=0.296
[考点透视]本例主要是考查数形结合，构建直角三角形，再应用转化思想，使已知角得到转化，即可求得BC、CD的长
[参考答案] .解:在Rt△BCD中,tan∠CDB=
,∠CDB=∠α, ∴BC=CD·tan∠CDB=CD·tanα.
在Rt△ACD中,tan∠CDA=,∠CDA=∠β, ∴AC=CD·tan∠CDA=CD·tanβ
∵AB=AC-BC=CD·tanβ-CD·tanα=CD(tanβ-tanα).
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∴CD=≈0.57(m).
∴BC=CD·tan∠CDB≈0.57×0.458≈0.26(m). 答:BC的长约为0.26m,CD的长约为0.57m.
[说明]求解时应特别注意发挥数形结合的作用.
例6：已知2+3是方程x2?5xsin??1?0的一个根，求cos?的值（?为锐角）.
[考点透视]这是一道一元二次方程与三角函数相结合的综合题，应注意运用分析法、综合法，寻求解题途径． [参考答案] cos??13。 5二、特殊角的正弦余弦值：
例7：求下列各式的值：
cos45000?4sin45?cos30 （1）sin45?cos60； （2）. 00sin60?sin902020[考点透视]本例主要是考查特殊角的三角函数值，注意sin90°=1。 [参考答案]（1）3，（2）-2
4例8：（08年顺义一模）19．已知：如图，正方形ABCD中，点E为AD边的中点，连结CE． 求sin?ACE和tan?ACE的值．
[考点透视]本例主要是考查角的三角函数值的定义及在四边形中应用。 解：过点E作EF?AC于点F， ∵四边形ABCD是正方形， EADAEDBC∴?BAD?90?,?D?90?,AC平分?BAD，
F AD?DC． ∴?CAD?45?，AC?∵E是AD中点， ∴AE?DE?2AD．
BC1AD．??????????1分 25x．
设AE?DE?x，则AD?DC?2x，AC?22x，CE?在Rt△AEF中，EF?AE?sin?CAD?22x，AF?EF?x．??2分 22∴CF?AC?AF?22x?23x?2x．????????????3分 22第 4 页 共 30 页
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2xEF102∴sin?ACE?，????????????????4分 ??CE105x2xEF12 tan?ACE???．????????????????5分 CF332x2
三、解直角三角形
例9（08年平谷二模）19．如图，在某区某建筑物AC上，挂着“抗震救灾，众志成城”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测得仰角为30?.再往条幅方向前行20米到达点E处，看条幅顶端B，测得仰角为60?，求宣传条幅BC的长.(小明的身高不计，结果精确到1米;可能用到的数据3?1.73,2?1.41）
[考点透视]主要考察解直角三角形中仰角俯角的应用
解：19． 解：依题意∠F=30°，∠BEC=60°.∴∠FBE=∠BEC-∠F=60°-30°=30°.∴EF=EB=20. 在Rt△BEC中∵∠BCE=90°,∴sin∠BEC=CB.∴CB?sin?BEC?BE=sin60°×20=103?17.
BE答：宣传条幅BC的长约为17米.
例10一艘船向正东方先航行，上午10点在灯塔的西南方向k海里处，到下午2点时航行到灯塔的东偏南60°的方向，画出船的航行方位图，并求出船的航行速度．
[考点透视]主要考察解直角三角形中方向角的应用
解：如图，依题意，灯塔位于P点，船丛A 点向东航行，12点到达C点，
且有 PB⊥AC，A＝45°，∠BPC＝30°；
于是，在△ABP中，有 N AB＝PB＝AP cos45°
P 22?k. ＝k ?22在△PBC中，又有
BC＝PB tan30° A ＝ 所以 AC＝
236k??k， 236B C 2632?6k?k?k. 26632?632?66可知船的航行速度为 v?． ?424第 5 页 共 30 页