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∴m??4． ----------------------------1分 ∵抛物线与x轴只有一个交点 ，
∴ m2?4n2?0 ．
∴ n?4． ---------------------------2分 （2）∵m??4 ，n?4， ∴y??x?4x?4． ∴y??(x?2)．
∴抛物线C的解析式为 y?x?1 ． ---------------------------3分 222 （3）假设点D存在，设D(a,b)． 作DH?y轴于点H，如图． 则DH?︱a︱，BH?︱b－1︱． 由△DPB为等边三角形，
得Rt△DHB中，∠HBD=60°．
PD2D4HBOD1D3xyDH ∴tan60??．
BHa3? ∴．
b?1 ∴a?3(b?1)．
∵D(a,b)在抛物线C上 ， ∴b?a?1． ∴b?3(b?1)?1． ∴b?2或b?22221． 323． 3231231,),D4(?,) ． --------------------7分 3333 ∴a??3或a?? ∴满足条件的点存在，分别为 D1(3,2),D2(?3,,2),D3(48．已知：如图，一等边三角形ABC纸片的边长为2a，E是AB边上一动点，（点E与点A、B不重合），过点
E作EF∥BC，交AC于点F，设EF=x.
（1）用x的代数式表示△AEF的面积； （2）将△AEF沿EF折叠，折叠后与四边形BCFE
重叠部分的面积为y，求出y关于x的函数关 系式，并写出自变量x的取值范围.
答案：(1)解：在等边△ABC中
作AD⊥BC于D，交EF于H ∴ BD=DC=BC?a
又∵ tan?ABD? tan60°=
AD BD12 ∴ AD=3a ???1分 ∵ EF∥BC
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??AEF∽?ABC
AHEF ∴ =
ADBC
AH3a=
x 2a ∴ AH=
3x ????????????2分 2 ∴ S△AEF=
1AH×EF 213232
x=x ????????????3分
422 S△AEF=
(2) 解：①当折叠后△AEF的顶点A落在四边形BCFE内或BC边上时 y=
32
x (0＜x≤a ） ??????????4分 4
②当折叠后△AEF的顶点A落在四边形BCFE外点A′处时，
A′F交BC于M， A′E交BC于N，连结AA′交EF于H， 交BC于D AHx ∴ =
AD2aAHx ∴ =
HD2a?x 又 ∵ AH= A′H
A'Hx ∴ =
HD2a?xA'Hx ∴ '=
AD2x?2a ∴
S?A'EFS?A'MNx?2?=?? ????????????5分 ?2x?2a?第 27 页 共 30 页
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32xx24 =
S?A'MN?2x?2a?2 ∴ S△A’MN=
3?2x?2a?2 4 ∴ S四边形MFEN=
323?2x?2a?2 ?????????????6分 x-44 ∴ y=-
332x?23ax?3a2 (a＜x＜2a ） ????????7分 449．已知：如图，AB为⊙O的弦，过点O作AB的平行线，交 ⊙O于点C，直线OC上一点D满足∠D=∠ACB.
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论； （2）若⊙O的半径等于4，tan?ACB?4，求CD的长. 3答案：（1）直线BD与⊙O相切．
证明：如图3，连结OB．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1分
∵ ∠OCB=∠CBD +∠D ，∠1=∠D， B3 ∴ ∠2=∠CBD． A1D2C∵ AB∥OC ，
O∴ ∠2=∠A ．
∴ ∠A=∠CBD．
∵ OB=OC，
图3 ∴ ?BOC?2?3?180?，
∵ ?BOC?2?A，
∴ ?A??3?90?．
∴ ?CBD??3?90?．
∴ ∠OBD=90°．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2分 ∴ 直线BD与⊙O相切． - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3分 （2）解：∵ ∠D=∠ACB ，tan?ACB?，
∴ tanD?．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4分
在Rt△OBD中，∠OBD=90°，OB = 4，tanD?， ∴ sinD?，OD?45OB?5． sinD434343∴ CD?OD?OC?1．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5分
50．已知：PA?2，PB?4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB 的两侧.
（1）如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长； （2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD 的 最大值，及相应∠APB的大小.
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答案：（1）①如图11，作AE⊥PB于点E． - - - - - - - - - - - - -1分 ∵ △APE中，∠APE=45°，PA?2，
2?1， 22 PE?PA?cos?APE?2??1．
2 ∵ PB?4，
∴ BE?PB?PE?3．- - - - - - - - - - - - - - - - - - 2分 在Rt△ABE中，∠AEB=90°，
∴ AE?PA?sin?APE?2?∴ AB?DP'APEBCAE2?BE2?10．- - - - - - - - - - - - -3分
②解法一：如图12，因为四边形ABCD为正方形，可将
△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P?AB， 可得△PAD≌△P?AB，PD?P?B,PA?P?A．
∴ ?PAP?=90°，?APP?=45°，?P?PB=90°．
图12 ∴ PP??2PA?2．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4分 ∴ PD?P?B?PP?2?PB2?22?42?25．- - - - - - - - - - - - - -5分
解法二：如图13，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，设DA的 延长线交PB于G． D 在Rt△AEG中，可得 CAG?AEAE10， ??cos?EAGcos?ABE3GAB12EG?，PG?PB?BE?EG?． PFE33图13 在Rt△PFG中，可得PF?PG?cos?FPG?PG?cos?ABE?1010，FG?． 515- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4分
在Rt△PDF中，可得 PD?PF2?(AD?AG?FG)2 =(10210102)?(10??)?20?25． 5315- - - - - - - - - - - - - - - - -5分
（2）如图14所示，将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P?AB， PD 的最大值即为P?B的最大值.
∵ △P?PB中，P?B?PP??PB，PP??2PA?2，PB?4，
且P、D两点落在直线AB的两侧，
∴ 当P?、P、B三点共线时，P?B取得最大值（见图15）.
此时P?B?PP??PB?6，即P?B的最大值为6.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6分 此时∠APB=180°－?APP?=135°.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7分
DD
CC
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