龙文学校 教师一对一
www.lwgxh.com龙文学校个性化辅导资料 启迪思维，点拨方法，开发潜能，直线提分！
24．我市某区为提高某段海堤的防海潮能力,计划将长96m 的一堤段(原海堤的横断面如图中的梯形ABCD)的堤面加宽1.6m, 背水坡度由原来的1:1改成1:2,已知原背水坡长AD=8.0m,求完成这一工程所需的土方, 要求保留两个有效数字.(注:坡度=坡面与水平面夹角的正切值;提供数据:
)
答案:如图,作EG⊥FB于G,DH⊥FB于H,记堤高为h,则EG=DH=h. 由tan∠DAH=1:1=1, 得∠DAH=45°.
∴h=DH=ADsin∠DAH=8sin45°=8× 由tan∠F=EG:FG=1:2, 得FG=2EG=2h= ∴FA=FH-AH=(FG+GH)-AH=(
+ED)-, =
, ∴AH=DH=,
+1.6,
∴海堤断面增加的面积S梯形FADE=(ED+FA)·h≈6.4
×1.41+16≈25.0(m2)
∴工程所需土方=96×S梯形FADE≈96×25.0=2 400=2.4×103(m3). 答:完成这工程约需土方2.4×103m3.
25（08年延庆一模）18．如图7，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠ACB=45°，翻折梯形ABCD，使
点C重合于点A，折痕分别交边CD、BC于点F、E，若AD=3，BC=12， 求：（1）CE的长；（2）∠BAE的正切值． AD
F
答案：∵翻折梯形ABCD
∴∠ACE=∠EAC=45°，AE=EC
∴∠AEB=∠AEC=90° ……………1分 B 过D做DM⊥BC交BC于M，则∠DMB=90° ∴四边形AEMD为矩形 ∴ AD=ME=3
∵等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB=CD
∴∠ABC=∠DCB AE=DM， …………2分 在△ABE和△DMC ∠AEB=∠DMC =90°
AB=CD AE=DM
∴ △ABE≌△DMC ∴BE=CM
第 11 页 共 30 页
EC 龙文学校 教师一对一
www.lwgxh.com龙文学校个性化辅导资料 启迪思维，点拨方法，开发潜能，直线提分！
∴BE=CM =(12-3)÷2=4.5 ……………………3分
∴CE=7.5 ……………………4分
在△BAE中，tan∠BAE=
BEBE4.53???…………………5分 AECE7.55图7
26（08年通州二模）22. （本小题满分4分） 一筑路工程需要测量某河段的宽度.如图①，一测量员在河边的A处测得对岸岸边的一根标杆B在它的正北方向，测量员从A点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C处，测得?ACB?68. （1）求所测之处的河宽（sin68?0.93,cos68?0.37,tan68?2.48.）； （2）除(1)的测量方案外，请你再设计一种测量河宽的方案，并在图②中画出图形.
22．（1）在Rt?BAC中，?ACB?68，∴AB?AC?tan68?100?2.48?248（米）
答案：所测之处的河宽约为248米（2）表述无误，从所画出的图形中可以看出是利用三角形全等、三角形相似、解直角三角形的知识来解决问题的，只要正确即得满分.
27（09年海淀一模）19、如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B.
（1）求证：AD是⊙O的切线；
C（2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长. OB答案（1）证明: 如图, 连接AO并延长交⊙O于点E, 连接BE, 则∠ABE=90°. ∴ ∠EAB+∠E=90°. ????????1分 EAD ∵ ∠E =∠C, ∠C=∠BAD， C∴ ∠EAB+∠BAD =90°.
OB∴ AD是⊙O的切线. ????????2分
（2）解：由（1）可知∠ABE=90°.
∵ AE=2AO=6, AB=4, DA??????∴ BE?AE2?AB2?25. ???????????????????3分
∵ ∠E=∠C=∠BAD, BD⊥AB,
∴ cos?BAD?cos?E. ???????????????????4分 ∴
即ABBE?.ADAE425?.AD6
∴ AD?
125. ???????????????????5分 5第 12 页 共 30 页
龙文学校 教师一对一
www.lwgxh.com龙文学校个性化辅导资料 启迪思维，点拨方法，开发潜能，直线提分！
28（08年昌平区二模）18．北京的6月绿树成荫花成海，周末小明约了几个同到户外活动．当他们来到一座小亭子时，一位同学提议测量一下小亭子的高度，大家很高兴．于是设计出了这样一个测量方案：小明在小亭B ＝B 子和一棵小树的正中间点A的位置，观测小亭子顶端B的仰角∠BAC60°，观测小树尖D的仰角∠DAE．．．
＝45°．已知小树高DE=2米．请你也参与到这个活动中来，帮他们求出小亭子高BC的长．(结果精确到 D D0.1．2?1.41，3?1.73)
答案．解：根据题意得：∠C=∠E=90°.
在Rt△ADE中，∠DAE=45°，∠E=90°,
C ∴ ∠D=∠DAE=45°. C ∵ DE=2,
∴ AE=DE=2. ???????????????? 1分
∵ A为CE的中点,
∴ AC=AE=2. ?????????????????? 2分 在Rt△ACB中，∠BAC=60°，∠C=90°, ∴tan?BAC?BC?3. ????????????? 3分 ACAA EE ∴BC=23. ??????????????????? 4分 ∴BC≈2×1.73≈3.5 .
答：小亭子高约为3.5米. ??????????????? 5分
?的中点，DP?AC,垂足为点P. 29．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点D是BC（1）求证：PD是⊙O的切线.
（2）若AC=6, cosA=
答案.（1）证明：如图：连接 OD，AD. ∵D为弧BC的中点， ∴弧CD = 弧BD. ∴?1??2?∵?2?PCD得分 3，求PD的长. 5AOB1?PAB. 21?BOD， 2∴?PAB??BOD.
∴PA∥DO . ?????????????????????1分 ∵DP⊥AP， ∴∠P=90°.
∴∠ODP=∠P=90°. 即 OD⊥PD. ∵点D在⊙O上，
第 13 页 共 30 页
1PCDE2AOB 龙文学校 教师一对一
www.lwgxh.com龙文学校个性化辅导资料 启迪思维，点拨方法，开发潜能，直线提分！
∴PD是⊙O的切线. ?????????????????????2分 （2）连结CB交OD于点E. ∵AB为⊙O直径 ， ∴∠ACB =∠ECP=90°. ∵∠ODP=∠P=90°， ∴四边形PCED为矩形.
∴PD = CE，∠CED = 90°.???????????????????3分 ∴OD⊥CB.
∴EB = CE. ???????????????????????4分 在Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，
∴cosA =
AC. AB3， 5∵AC = 6 , cosA = ∴AB = 10 . ∴BC = 8 . ∴CE=PD=
1 BC = 4. ??????????????????????5分 2得分 30．已知：如图，AB为⊙O的直径，AC、BC为弦，点P为 上 一点，AB=10，AC∶BC=3∶4．
（1）当点P与点C关于直线AB对称时（如图①），求PC长； （2）当点P为 的中点时（如图②），求PC长．
答案：(1)在⊙O中，如图①∵AB是直径， ∴∠ACB＝90゜．∵点P与点C关于AB对称, ∴PC⊥AB，且CD＝DP．∴由三角
形面积得：CD?AB?∴由勾股定理求得AC＝6，BC＝8．∴CD＝AC?BC ∵AB＝10，AC:BC?3:4，
6?8∴PC?4.8 ．
10＝2CD＝9.6．(2) 过点B作BE⊥PC于点E，连结PB由(1)得AC＝6，BC＝8．∵点P为 的中点，∴∠ACP＝∠BCP＝45°在Rt△BEC中，可求得CE＝BE＝42
∵∠A＝∠P，∠ACB＝∠BEC＝90°，tan∠P=an∠A．∴
BCBE?ACEP
．∴EP
?AC?BE6?42??32．∴PC＝CE＋EP＝42?32?72．
BC8
31（08年大兴区一模）如图，某人在A处测得电视塔尖点C的仰角为60?，沿山坡向上走到P处，测得点C的仰
11角为45?，已知OA?100米，山坡坡度为（即tan?PAB?）且点O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的
22第 14 页 共 30 页
龙文学校 教师一对一
www.lwgxh.com龙文学校个性化辅导资料 启迪思维，点拨方法，开发潜能，直线提分！ 高度以及此人所在位置点P到OB的距离．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号形式）.
答案．解：由题意知，CO?OB，
过P作PE⊥OB于点E，
PF⊥CO于点F，?????????1分 ∴∠FOE=∠OEP=∠PFO=90° ∴PFOE为矩形. ∴PF=OE，FO=PE.
在Rt△AOC中，AO=100， ∠CAO=60°，
∴CO=AO·tan60°=1003（米）????????????????????????2分 ∵tan∠PAB=
PE1? AE2∴设PE=x,AE=2x. ??????????????????????????????3分 ∴PF=OE=OA+AE=100+2x PE=OF= x
∴FC=OC－OF=1003?x
在Rt△PCF中，由题意知∠CPF=45°，
∴FC=PF. ??????????????????????????????????4分 ∴100?2x?1003?x， 解得x?100(3?1)（米）. 3100(3?1)米．??????????????5分 3答：电视塔OC高为1003米，点P到OB距离为
32. 如图，⊙O的直径AB交弦CD于点M，且M是CD的中点.过点B作BE∥ CD，交AC的延长线于点E.连
接BC．
E（1）求证：BE为⊙O的切线； C（2）如果CD=6，tan∠BCD=
1，求⊙O的直径的长． 2OMB
A
答案（1）证明：∵AB是⊙O的直径，M是CD的中点，
∴CD⊥AB. ??????????????? 1分 ∴∠AMC＝90°. ∵BE∥CD，
∴∠AMC＝∠ABE. ∴∠ABE＝90°，
D第 15 页 共 30 页