当w?0时，X(ejw)?N 当w?2?Nk时，X(ejw)?0
11（4）由（3）可得，当x(n)由4点通过补零扩为10点时，此时的圆卷积和线卷积的结果相同。由于线卷积的长度为4+4-1=7
∴可知x(n)由4点通过补零扩为最少7点时，圆卷积和线卷积相等。
?ln3-12 证明：频移定理为 IDFT? ??Xp(k?l)RN(k)??x(n)WN 由IDFT的定义可知，
?IDFT??Xp(k?l)RN(k)??1NN?1?k?0Xp(k?l)eXp(m)elnj2?Nnk
?1???NN?l?1?k??lj2?N?j2?Nnm?j2N?ln?e?
?x(n)e?x(n)WN?ln3-13 解：频移定理
?ln? IDFT? ?Xp(k?l)RN(k)??x(n)WN （1）∵cos(2?N??mn)?12(ej2?Nmn?e?j2?Nmn)?12(WN?mn?WN)
mn ∴DFT?x(n)cos( 由频移特性： DFT?x(n)cos(??2?2?1?1?mn??x(n)WNmn? mn)??DFT?x(n)W?DFTN??2??N?2?1mn)???Xp(k?m)?Xp(k?m)?RN(k) ??N?2 （2）∵sin(2?Nmn)?12j(ej2?Nmn?e?j2?Nmn)?12j(WN?mn?WN)
mn ∴DFT?x(n)sin(??2?11??mnmn??? mn)??DFT?x(n)W?DFTx(n)WNN????N2j?2j 由频移特性： DFT?x(n)sin(??2?1??Xp(k?m)?Xp(k?m)?RN(k) mn)????N2j?3-14
解：由DFT的定义可知，
26
rN?1DFT?y(n)???n?0n(kr)y(n)e?j2?rNnkN?1??x(n)en?0?j2?rNnk
?N?1?n?0x(n)e?j2?N
k?X()r3-15 证明：频域圆卷积定理，
若y(n)?x(n)h(n) 则
Y(k)?Xk(?)Hk() ? N ? N11N?1?l?0N?1l?0XlH(p)k?l(RNl) lX(p)k?l(RNl)N?1()()?HY(k)?DFT?y(n)??N?1?x(n)h(n)Wn?0?nkNN?1N?1 ??x(n)??IDFT?H(k)???Wn?0?nkN
? ??1??x(n)?n?0?N?H(k)Wl?0?lnN?nk?WN?1N1NN?1N?1(k?l)nN
?H(l)?x(n)Wl?0N?1n?0?H(l)Xl?0p(k?l)RN(l) 同理可证Y(k)?1NN?1?X(l)Hl?0p(k?l)RN(l)
3-16 证明：由卷积的定义可知
?（1）x(n)??(n)??m???x(m)?(n?m)?x(n)
?（2）x(n)??(n?n0)??m???x(m)?(n?n0?m)?x(n?n0)
3-19解：（1）T1min?T1T1??F??0.02?150?0.02s（2）Tmax?612fn?12?1000?0.5?10?3s
（3）N??0.5?10?3?40 ∴Nmin?2?64
7 （4）分辨力提高一倍，则T1min?0.04s，则N?80，取N?2?128
nn???3-17解：18..DFT??(?1)??DFT?(?1)RN(n)??X(k?N2)又DFT?RN(n)??N?(k)
n??N?(k?(?1) ∴DFT???N2)
27
x(0) x(8) x(4) x(12) x(2) x(10) x(6) x(14) x(1) x(9) x(5) x(13) x(3) x(11) x(7) x(15) x1(0) x1(1) x1(2) x1(3) x1(4) x1(5) x1(6) x1(7) x1(8) x1(9) x1(10) x1(11) x1(12) x1(13) x1(14) x1(15) x2(0) x2(1) x2(2) x2(3) x2(4) x2(5) x2(6) x2(7) x2(8) x2(9) x2(10) x2(11) x2(12) x2(13) x2(14) x2(15) x3(0) x3(1) x3(2) x3 (3) x3 (4) x3 (5) x3 (6) x3 (7) x3 (8) x3 (9) x3 (10) x3 (11) x3 (12) x3 (13) x3 (14) x3 (15) X(0) X(1) X(2) X (3) X (4) X (5) X(6) X (7) X(8) X (9) X (10) X (11) X (12) X (13) X (14) X(15)
N?13-18 解：DFT??X(N)???N?12r?0?(?1)n?0nnkWN??(?1)r?0N?122r2rkWN??(?1)r?0N?122r?1(2r?1)k WN?
rkkW?W?NN2rkW?N r?02N?12Nn??DFT?(?1)nRN(n)??X(k?DFT?(?1)) ????2 28
5-1 用冲击响应不变法求相应的数字滤波器系统函数H(z)
1）Ha(s) = 2）Ha(s) =
s?3s?3s?2s?1s?2s?422
解：由Ha(s)分解成部分分式之和 1）Ha(s) = ∴H(z) =
21?e?Ts?3s?3s?22=
1s?3(s?2)(s?1)=
2s?1?T–
1s?2?T
?1z?1–
1?e?2Tz?1=
11?e1?e?T(1?2e?T)z(1?e)z?1?e?3Tz?2
1j2）Ha(s) =
s?1s?2s?42=
2?3+
12s?2e?j?3
s?2e1∴H(z) =
1?e2j?3+
z?12?j?3?2Te1?e?2Tez?1=
1?e1?2e?T?Tcos(3T)z?1?1?2Tcos(3T)z?ez?2
5-2 设ha(t)表示一个模拟滤波器的单位冲击响应 ha(t)=
0 , t＜0
（1）用冲击响应不变法，将此模拟滤波器转换成数字滤波器，确定系统函数H(z)（以T作为参数）
（2）证明，T为任何值时，数字滤波器是稳定的，并说明数字滤波器近似为低通滤波器，还是高通滤波器
e?0.9t , t≥0
解：（1）∵ ha(t)= e?0.9tu(t) 29
∴ Ha(s) =
∴ H(z) =
1s?0.91?0.9T
z?11?e
(2)∵ H(z) =
11?e?0.9Tz?1
则其极点为z=e?0.9T ∵ T > 0 ∴ |z| < 1 H(ej?) =H(z)|z?ej? =
eej?j??0.9T?e
可以看出当ω↑时，| H(ej?) |↓ ∴ 是低通滤波
5-3 图5-40是由RC组成的模拟滤波器，写出其系统函数Ha(s)，并选用一种合适的转换方法，将Ha(s)转换成数字滤波器H(z) 解：由回路法可知（这是一个高通滤波器）
C ya(t)=RC∴
Y(s)X(s)dUc(t)dt=
RCdxa(t)dt–RCdya(t)dt
xa(t)
R
ya(t)
=
RCs1?RCs= Ha(s)
由于脉冲响应不变法只适宜于实现带通滤波器，所以最好用双线性变换法实现H(z)
2RC∴H(z) =
Ha(s)|s?21?z?T1?z?1?1T1?z=?12RC1?z1???1T1?z?1?z?1?1=
2RC(1?z)(T?2RC)?(T?2RC)z?1?1?z?2
30