5-4 设模拟滤波器的系统函数为Ha(s)=
?cs??c，式中Ωc是模拟滤波
器的3dB带宽，利用双线性变换，设计一个具有0.2π的3dB带宽的单极点低通数字滤波器
解：由预畸可知
?c=
2Ttan(12?0.2?)=
0.650.65T
∴ Ha(s) =
s?T0.65T
由双线性变换法可得
0.65H(z) =
Ha(s)|21?zs??T1?z?1?1=
2T?T?11?z1?z?1?0.65T=
0.65(1?z?1)?12.65?1.35z
5-5 要求通过模拟滤波器设计数字滤波器，给定指标：3dB截至角频率ωc=π/2，通带内ωp=0.4π处起伏不超过1dB，阻带内ωs=0.8π处衰减不小于20dB，用Butterworth滤波特性实现
（1）用冲击响应不变法 （2）用双线性变换法 解：（1）用冲击响应不变法
① 先将数字指标转换为低通原型模拟滤波器指标
?p=
?Tp==
0.4?T
?s=
?sT0.8?T 31
②设计模拟滤波器，求出Ha(s) Butterworth的频响函数为
|Ha(j?)|=
211?(??c)2n
11?(110∴ Ha(j?p)=
1?(1?p=
)2n?p?c=10)2n?
?cHa(j?s)=
1?(10102lg(21101?s?c))2n=
1?(1?s?c)2n=10?2010
lg(?1?1)∴ n =
?s?p=2.14
∴ 取 n = 3 ③ 求?c
|Ha(j?)|=
1?(21?s?c)2n=10?2
∴ ωc = ∴ ?c=
?s60.8?rad/s =
610?1299= 0.372π
?cT 设T = 1, 则 ?c= 0.372π
④ 求Ha(s)查表可得
Ha(s?)?12(s??1)(s??s??1)
1∴ Ha(s) =
Ha(s?)|s??s?c?(s?c?1)(s22?c?s?c
?1) 32
⑤ 由冲击响应不变法 先将Ha(s)分解成部分分式 Ha(s) =
A1s?s1+
A2s?s2+
A3s?s3
=
A11?e?s1T?1则H(z) =
=
z+
A21?e?s2Tz?1+
A31?e?s3Tz?1
（2）用双线性变换法
①由预畸求模拟滤波器原型指标
?p=
2T2Ttan?p2==
1.453T0.155T
?s=
tan?s2 ②设计模拟滤波器，求出Ha(s)
Butterworth的频响函数为
|Ha(j?)|=
1?(21??c)2n
110∴ Ha(j?p)=
1?(1?p=10)2n?
?cHa(j?s)=
1?(1?s?c)2n=10?2010
33
lg(10102110?1?1)) ∴ n =
2lg(?s?p=1.51
取n =2
③求?c
|Ha(j?s)|=
1?(21??c)2n=10?2 取T=1
∴ ?c=6?s10?126.155rad/s =
699= 2.862
④求Ha(s)
查表可得：
Ha(s?)=
1s??1.4142s??1222
1Ha(s) = Ha(s?)|s??s=
?cs?c?1.4142s?c
?1 =
⑤由双线性变换法求 H(z) =
Ha(s)|21?zs??T1?z?1?1=
5-6 已知图5-41h1(n)是偶对称序列N=8，h2(n)是h1(n)圆周位移后的序列。设H1(k)=DFT[h1(n)], H2(k)=DFT[h2(n)]
(1) 问|H1(k)| = |H2(k)|是否成立？θ1(k)与θ2(k)有什么关系？ (2) h1(n)，h2(n)各构成低通滤波器，试问它们是线性相位的？延时
34
是多少？
(3) 这两个滤波器的性能是否相同？为什么？若不同谁优谁劣？ 解：(1) 由DFT的时移定理
mkDFT[xp(n-m)RN(n)]= WNX(k)可知
H1(k)和H2(k)只有相位差，幅值相等，即有 |H1(k)| = |H2(k)| θ1(k)和θ2(k)相差WN 即θ2(k)–θ1(k)= W=e4k8mk?j2?84k=e?jk?
(2) ∵ 无论h1(n)，h2(n)都是偶对称序列
∴ 所以他们构成的低通滤波器具有线性相位
N?12延时 α=
=
8?12=3.5
(3) 不相同，相位相差kπ
h1(n)要优于h2(n)，因为其相位滞后时间少
5-7用矩形容器设计一个近似理想频率响应的FIR线性相位的数字滤
?j?? , 0? |?|??c 波器 e
Hd(ej?) =
， ?c? |?|??
0
(1) 求出相应于理想低通的单位脉冲响应hd(n)
(2) 求出矩形窗设计法的h(n)表达式确定τ与N之间的关系 (3) N取奇数或偶数对滤波特性有什么影响？
35