解：(1) hd(n)= =
12?1????Hd(ej?)ej?nd?
sin[?c(n??)]2?????cce?j??ej?nd? =
?(n??)
(2) h(n)= hd(n) RN(n), h(n)只能取偶对称序列，由线性相位 τ=
N?12
(3) 由于N无论取奇数还是偶数，都可实现低通滤波，而且只
N?12要N的取值使h(n)为关于的偶对称函数，就能保证线性相关，
另外N的大小，只影响余振的多少和过滤带的窄宽，不会影响阻带良域。
5-8用矩形容器设计一个线性相位高通FIR数字滤波器
?j?? , ?c? |?|?? eHd(ej?) =
， 0? |?|??c
0
(1) 求出响应于理想高通的单位脉冲响应hd(n)
(2) 求出矩形窗口设计法的h(n)表达式，确定τ与N之间的关系 (3) N的取值有什么限制？为什么？ 解：(1) hd(n)= = = =
12?12?12?12???c????j???Hd(ej?)ej?nd??c
e?j?????eejn?d?+
12?12???eejn?d?
?????ce?j?(n??)d?+
???cj?(n??)d?
?c[e?j?(n??)?ej?(n??)]d?
36
= = =
1????ccos[?(n??)]d?
1?(n??)1sin[?(n??)]|?c sin[(n??)?]–
sin[?c(n??)]??(n??)?(n??)
= Sa[?(n??)]–
?c?Sa[?c(n??)]
∴ hd(n)仍然是偶函数
(2) h(n)= hd(n) RN(n)
∴ h(n)为偶对称序列，要保持滤波器具有线性相位，则须有 τ=
N?12
(3) 这是一个高通滤波器，由于h(n)为偶对称，而当N取偶数时，
所得到的滤波器不能实现高通特性
∴ N只能取奇数
5-9考虑一个长度为M=15的线性相位FIR滤波器，设滤波器具有对称单位样值响应，并且它的幅度响应满足条件 H(
2?k15 ) = 1， k = 0, 1, 2, 3
0， k = 4, 5, 6, 7 确定该滤波器的系数h(n)
解：由于H(k) =Ha(ej?)|??2?Nk
37
∴ h(n) = IDFT[H(k)] = ∴ h(0) =
115115141Nj2?15N?1?k?00kH(k)ej2?Nnk
?k?014H(k)e= 1
1151151151?e1?e?1?e1?e?1?e1?ej2815 h(1) =
?k?014H(k)ej2?15?k=
?j2?15
h(2) =
115?k?014H(k)ej4?15j5615?k=
j4?15
h(3) =
115?k?0H(k)ej6?15j8415?k=
j6?15
h(4) = 0 h(5) = 0 h(6) = 0 h(7) = 0
由频率特性可知，这是一个低通滤波器
∴ 要取h(n)关于α=
N?12=
15?12=7这一点偶对称时，可实
现低通滤波（奇对称时，无法实现低通滤波） ∴ 取 h(8) = h(6)
h(9) = h(5) h(10) = h(4) h(11) = h(3) h(12) = h(2) h(13) = h(1)
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h(14) = h(0)
5-10设FIR滤波器的系统函数为
H(z) = 0.1(1+0.9z-1+2.1z-2+0.9z-3+z-4)
求出滤波器的单位抽样响应，判断是否具有线性相关，并求出其幅度特性和相位特性，画出其直接型结构和线性相位型结构
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