类的致密程度不同，对波的衰减也不同，岩石越致密Q值愈大，衰减系数小，岩石愈疏松，Q值愈小，?愈大。方解石（矿物）的Q=1900，而石灰岩（岩石）的Q=200，相差近10倍。不同岩石的?值最大可相差107倍，如下表所示：
岩石种类 火成岩和变质岩 (固化的)沉积岩 页岩
(未固化的)沉积岩
10?510?410?310?210?1100101102
表3.2 在50~100Hz情况下，不同种类岩石衰减性（?）的变化范围。
岩石随孔隙度、裂缝、溶洞的增加而衰减的研究很重要，公布的材料，成果比较多，在此不一一列举。
（3）衰减与温度、压力的关系 ·随温度升高，衰减加大； ·随压力升高，衰减减小； ·压力的影响大于温度的影响。 （4）衰减的测量
衰减的测量比较复杂，困难，因为衰减与岩石本身的性质有关，还与传播距离，球面扩散等因素有关，要得到与岩石性质有关的衰减值，或品质因子，比较实用的是“谱比法”，现在重点介绍该方法的测试原理：
设平面波的振幅谱为
A(f)?G(x)e??(f)xi(2?ft?kx)e （3.35）
式中f为频率，x为岩石样品的长度，G(x)为几何扩散因子，含球面扩散（无真正意义的平面波），反射和散射等。?(f)为与频率成正比的吸收系数，设
??rf，其中r为常数。由（3.19）得Q???V，式中V为波速。
为消除G(x)的影响，要选择一个在几何形状，长度等方面与待测样品一样的参考样，测量超声波分别穿透测样和参考样（标样）的振幅谱，得参考样和测样的振幅谱为
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A1(f)?G1(x)e??1(f)xei(2?ft?K1x)
（3.36） （3.37）
A2(f)?G2(x)e??2(f)xei(2?ft?K2x) 如果参考样和测样的波速近似相等，则波数k1?k2，两式相除得
A1(f)A2(f)?G1(x)G2(x)e?(?1??2)fx （3.38）
上式两边取对数得
?A(f)?G1(x)ln?1??(?2??1)fx?ln?A(f)?G2(x)?2? （3.39）
↓
A?(?2??1)fx?B （3.40）
先定测试频率f，可通过最小二乘拟合，求得直线斜率?2??1，由于标样的Q值为已知，或无穷大（对铝样而言Q=150000，可视为无限大，则?1?0）。于是可求得待测岩石样品的?值（?2）。 3.4 岩石模型
3.4.1 问题的提出
应用实际测量的波在岩石中传播的速度和衰减属性如何解释和反演岩石中的矿物组成，比例、几何结构？
若已知岩石的矿物组成、比例、结构形态，如何求出岩石的等效特性（弹性参数，波速，衰减等）？
由于岩石的组分和结构过于复杂，直接解决上述正、反两个问题均存在很大的难度，这就需要建立一定意义下的等效模型并通过所建立的模型求解正、反问题，这是人们认识、掌握自然规律的一种普遍的，科学的方法。
（如脉冲星的发现与脉冲星模型的建立直接相关联。） 3.4.2 计算波速的空间平均岩石模型 考虑以下弹性参数
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VP???2??,VS???,K?VdPdV?1? （3.41）
其中VP，VS，?，?，?是我们最熟悉的参数，K为岩石的体积模量，它表示压力增量?P和体积变化率
?VV之比，K??p/?VV，
?VV?,K?，因此K
又称不可压缩系数，其倒数?称为压缩系数。对空气而言???， ?的值为100（Mpa）-1，多数岩石的?值为1(Mpa)-1。由于水的不可压缩性较岩石大。因此常说水是不可压缩的。
下图（a）和（b）分别为Voigt（沃伊特）和Ruess（罗伊斯）提出的等应变模 型和等应力模型。
图3-9模量的岩石模型（a）Voigt模型（1910）， （b）Ruess模型（1921）
设N种矿物并行排列，第i(i?1,2,?,N)种矿物的体积模型为Ki，剪切模量为?i，所占岩石体积的百分比为Vi，则Voigt的空间平均（多相等效体）体积模量KV和剪切模量?V分别为：
NNiKV??Ki?1?Vi,?V???i?1i?Vi （3.42）
此模型假定每种矿物的应变相同，则每种矿物承受的应力不同。KV相当于串联电阻的总阻抗。
1929年Ruess提出了等应力模型，如图（b）所示，每种矿物承受的压力相同，因矿物性质各异，每种矿物的应变显然不一样，其模量KR和?R分别为：
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NN?1iKKR?1R??Ki?1?Vi,??1R???i?1?1i?Vi （3.43）
反映了并联电路的总阻抗，显然KV为不可压缩性的上限值，而KR为下限值。
（串联阻抗大于并联阻抗）实际岩石参数的弹性模量应介于这两个极限情况之间。Hill提出将这两种模型的结果取算术平均，并称为VRH值（即Voigt，Ruess，Hill三人的字头），则
KVrh?12(KV?Kr),?Vrh?12(?r??V)
（3.44）
Kumazawa（1969）仿照Hill的做法，取几何平均值，得
图3.-10 两种矿物组成的岩石模型，其平均岩性参数用不同方法计算时
得到的K随第2种矿物体积百分比（V2）的变化曲线 1. Voigt模型； 2. Ruess模型； 3. Hill模型； 4. 几何平均模型
1Kgeom?(KR?KV)2,
1?geom?(?R??V)2
（3.45）
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假定岩石由两种矿物组成，且K1:K2?1:0.2于是用上述四种方法计算的K?V曲线如下图所示。
从该图可知，Voigt模型给出了估计值的上限，Ruess模型给出了估计值的下限，而算术平均和几何平均值则位于上、下限值的中间。大量的实验测试表明，在高压状态下，计算值KVrh和Kgeom与测试值符合得较好，如下表所示：
表3.3 实测K值和计算的KVrh值比较（压力为1Gpa）
岩石种类 花岗岩 花岗岩 花岗二长岩 辉长岩 辉 岩 实际测量的K值 49.1 54.6 60.4 81.5 94.8 计算的KVRH值 49.0 52.3 57.3 84.3 84.2 误差 <1% 4% 5% 4% <1% 已知K，?，可求出VP，VS，?，?等其它各种弹性参数。 3.4.3 计算岩石波速的时间平均模型
依照空间平均模型的基本思路，Wyllie（1956）提出了计算岩石速度的时间平均模型，Wyllie假定单位立方体中岩石的孔隙全部集中成为一层，其厚度与岩石孔隙度相等，为?0设波穿过该岩石单位厚度的时间为?t，则穿过基质和孔隙的时间分别为?tm和?tf，于是有
?t??tm??tf?1??Vm??Vf
或
1V?1??Vm??Vf （3.46）
式中V为该单位岩石的等效平均速度。这就是前面提到的Wyllie的求平均速度的经验公式（3.11）。由于此式比较简单，应用更为广泛。当孔隙度?偏低，压力较大时，精度比较高。
3.4.4 计算岩石波速的裂隙模型
Schon（1996）提出了一个计算等效速度的含裂隙介质模型，有几个假定。
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