对每一个小单元V0，存在
?eff?(?SV0pdP?PdVC)/V0pdP
上式右边第一项是没有裂缝时的体积单元?0的应变能，第二项是由于裂纹存在而增加的应变能dWC，VC是裂缝的体积。萨克（sack，1948）证明，对于硬币形椭圆裂纹，第i个小单元增加的应变能dWC(i)为
dW(i)C2??s16(1??S)9(1?2?S)aipdp3 （4.19）
于是，由N个小单元构成的总的应变能增量为
NN(i)CdWC??dWi?1??S?i?116(1??S)9(1?2?S)2aipdp3
式中?S为基质压缩系数，?S为基质的泊松比。 其中 则有 式中
a
dWC?pdVC
（4.20） （4.21） （4.22）
?eff
23?16(1??S)Na???S?1??
9(1?2?S)V??N Na?3?a
3ii?1
是裂纹体积的平均长度。
（4.21）式给出了硬币形椭圆裂纹对岩石的有效压缩系数。该影响以Na3的形式出现。由（4.21）可知，?eff与裂纹体积有关，而该体积又和压力有关，因此
?eff与压力也有关。由于
Na?3?ai?13i/N
则对压缩系数影响作用最大的是那些ai比较长的裂纹。ai愈小，影响愈小。 4.2.1.2 球形孔隙介质的弹性性质
设岩体V中每个小体积单元包含一个球形空腔VC，孔隙空间之间的距离足够大，则施加在区域空间上的力等于施加在小空腔VC边界上的力。此力使VC发生形变，根据厚壁球形空腔的Lame解，可求出孔洞边界上的切向应力???，
?????31P?2(1?VC/V)36
（4.23）
而切向应变为e???(1??S)(???/E)，体积应变为?VC/VC等于3e??，因此在外压变化dp时，该空腔的相对体积变化为
dVCVC??9dP1??S??3e??2E1?VC/V
孔隙度随压力的变化率为
d?dP?1dVCV0dP??9?1??S2E??1??
综合考虑以上公式和?S?3(1?2?S)/E，得
?eff??S?1???????
2(1?2?S)1???3(1??S) （4.24）
上式仍在?很小时才严格成立。
4.2.1.3 平面应力和平面应变作用下含椭圆裂隙介质的弹性性质
与球形裂隙不同的是，硬币形裂隙椭圆裂隙等扁窄裂隙的方向是随机的，假设外加流体静压力相同，则不同方向裂隙的应变不同，位移也不同，出现小单位之间的位移不连续性。很难建立运动平衡方程式。为此Voigt（1928年）建议对弹性模量进行平均，在现有问题中，这种平均等价于假设各个小区域的边界上存在均匀应变（等应变模型，见公式3.4.2），而Ruess（1929）则建议对拉伸系数（杨氏模量的倒数）进行平均，相当于假设区域边界上存在均匀相等的应力（见式3.43），Hill（1952）证明了Voigt与Ruess的结果分别为弹性模量的上、下界。上下界之差的大小决定了矿物组分和结构的各向异性的程度。则Voigt和Ruess的模型可用于计算应变能时的参考，Sack（1946）计算过硬币形裂纹的应变能dWC，Griffith（1920）计算过平面应力与平面应变作用下椭圆裂纹的应变能dWC，对扁窄的椭圆裂纹（半长度=半宽度），区域边界上的应力均匀（相等），则dWC为：
dWC??S16(1??S)a9(1?2?S)4?(1??S)a3(1?2?S)4?a32323pdp
（硬币状裂隙）
（平面应变作用下的椭圆） （平面应力作用下的椭圆）
37
dWC??Spdp（4.25）
dWC??S
3(1?2?S)pdp
采用符号a为平均长度，V为平均体积，Na?3N?ai?13i,NV?V0，则按Ruess
等应力模型假定有：
?eff23?161??Sa???S?1??
91?2?SV??（硬币形） （应变）
（4.26）
?eff23?4?(1??S)a???S?1??
(1?2?)VS??3?4?a???S?1??
3(1?2?S)V???eff（应力）
按Voigt模型（等应变）也应得一套有效压缩系数的公式，但有相当的难度。
(V)(R)J. B. Walsh（1965）给出了?eff和?eff的相互关系式
?Veff??Reff??S?N32A(VC/V)9(1?2?S)(1??S)2 （4.27）
式中
A?16(1??S)a/3VA?4?(1??S)a/V232
（硬币形） （等应变） （等应力）
A?4?a/V3
式中V为总体积，VC为孔隙体积，?S为基质泊松比，?S为无裂纹岩石的压缩系数，a为窄裂隙的平均半宽度。
VR一般说来，?eff小于?eff，但当孔隙率VC/V很小时，二者趋于相等。A?0VR??eff。 时，?eff4.2.2 裂纹闭合的压缩系数
用压缩系数研究含裂纹岩石的弹性性质，本身就考虑了裂纹在外力作用下的闭合性，特别对窄而扁的裂纹，其裂隙密度（或孔隙度）随压力的变化很明显，也很有实际意义。设岩石中含有N个形状、大小相同的硬币裂隙，每个裂隙的三个半轴的长度为a，a和?a，其中?为纵、横比。对窄裂隙，?值很小，<<1。裂纹总体积为VC，则
4?3VC?N??a
3 38
孔隙度 ??则
VCV?4?Na3V3? d?dP4?Na3V3
?d?dP （4.28）
由（4.17）和（4.21）式可得
d?dP???S161??SNa91?2?SV23 （4.29）
令（4.28）与（4.29）右端相等，得
??ES4(1??S)2d??dP （4.30）
式中
ES?3(1?2?S)?S（查表3.1）
对（4.30）式两边积分
??ES4(1??2S?)??0d???PP0dP??P0dP （4.31）
式中?0是压力为0时的纵横比，而??0相当于完全闭合，此时压力为Pclose （4.31）式的解为
P???ES4(1??S)2(?0??)
（4.32） （4.33）
则
Pclos?e?ES4(1??2S??0ES?
)0此式说明?0愈大，所需闭合压力愈大，对纵横比?0接近于1的裂隙，
Pclose?10Pa911，相当于地球内部地核—地幔交界处的压力。?0?0.01时，
0Pclose?10Pa?1GPa?,?0.001Pclose?10Pa?100MPa时
8，这时在几公里的深
度，裂隙就可能完全闭合。
4.2.3 裂纹孔隙度?C的测定
前面已说明，岩石的孔隙度包括孔洞孔隙度和裂缝孔隙度两种，即
???P??C，由于孔洞的大小与形状随压力变化很小，故存在
39
d?dP?d?PdP?d?CdP?d?CdP （4.34）
以此为基础有两种测定裂纹孔隙度的方法，首先，由walsh公式
?eff??S?d?dP
得
?C???0Pclose(?eff??S)dP??Pclose0?effdP??Pclose0?SdP
（4.35）
?s
图4.1测定裂纹孔隙度的两种方法 （a）?eff?P曲线法；
（b）P??VV曲线法
（4.35）式右边第一个积分代表实测的?eff?P曲线，第二项积分为?S?Pclose，故
?C为图（a）中?eff下的阴影部分。
第二种方法利用在流体静压力作用下岩石的体积应变测量资料，由沃尔什公式得
?C??Pclose0?effdP??Pclose0?SdP??VV??SP （4.36）
?VV其中右边第一项为实测的P??V/V曲线，将高压线性部分延长到就是?C。
40
轴的截距