① 设单位体积内的裂隙体积为D；
② D很小，以致无裂隙和有裂隙岩石的密度近似相等，即?m??f； ③ 裂隙一般细而长，纵横比很小，在压力增加时将产生闭合，D随压力减小，减小量与D成正比。
即
dDdP~D或?dDdP??D
?为比例因子
④ 设平面波模量（Plane wave modulus）M的定义（white，1983）为：
M???2?,VP?M? 在干燥岩石情况下，又设
M?Mm(1?D)
式中Mm为无裂隙的岩石模量，M是含裂隙的岩石模量。 在以上假设基础上可得
M/??(Mm/?)(1?D)1
VdDdP2P?V(1?D)?VP?Vm(1?D)22m考虑到
???D
用分离变量法求解此微分方程式，得
?dDD??DD0??dP??dDDDD0?P0dP
ln???P?PP*D?D0e??P?D0eVm为无裂隙岩石的波速，以上各式中P*为参考压力，D0为P?0时的裂隙密度，
VP为岩石含裂隙的波速，于是有
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1VP?Vm??*P?1?D0e??P?2? ?? （3.47）
3.4.5 球堆模型——Gassmann关系式
1881年G. Hertz提出了著名的点接触球的物理问题，假定岩石由球状矿物组成且球的半径相同，球状矿物按晶格结构排列，受压时，矿物之间的接触由点变为面，接触面随压力增加而增大。Gassmann 1951年发表了球堆模型（Model of Package of spheres）的经典文章，他证明，不论矿物球按立方排列，还是按六方体排列，由于岩石非线性的应力—应变关系，岩石波速随压力P，随埋深Z的变化均存在如下关系式：
V~P1/61/6岩石中波的衰减和能量的耗散 宏观解释 微观解释 ,V~Z （3.48）
广义或非线性的弹性波方程：衰减机理：固体部分的非弹性、孔隙中的非线性几何影响 3.4.6 衰减模型
应该说目前尚无一个被大家所 接受的衰减模型，可能的原因在于： 衰减问题过于复杂，用一个模型 不能完全概括。根据Toksoz和
流变方程、复杂弹性模量 图3-11 岩石的衰减模型 Johnson（1981）提出的观点，描述岩石中波衰减和能量耗散的几种解释可用右图表示。1992年Arts得到了波的衰减系数?与f2成正比的结论。前面还提到?与f成正比。
32
4 岩石的弹性
岩石的弹性性质一方面受矿物的弹性性质控制，还要受岩石内部的孔隙和孔隙流体决定。如果把由固体骨架和孔隙流体组成的岩石称为二相体，则本章主要研究二相体的弹性性质。 4.1 二相体的弹性
4.1.1 弹性参数的一般概念
4.1.2 岩石中的孔隙——裂纹和孔洞 设岩石的孔隙度为?，定义?为：
??V?V （4.10）
式中V?为体积V的岩石中的孔隙体积。火山喷发岩和砂岩的孔隙度较大，有时可达20~40%，而对多数的结晶岩，泥岩，致密碳酸盐岩（以及致密砂岩），其孔隙度可小到0.1%~1.0%，除了孔隙度的大小外，其形状也很重要。纵横比接近1的球形孔隙，常称为孔洞（pore），纵横比很小，小小于1的孔隙称为裂纹（crack），分别用?p和?c来表示它们的孔隙度，则
?P?VPV,?C?VCV （4.11）
式中VP和VC分别为孔洞体积和裂纹体积，一般的岩石中这两种形状的孔隙都有，则总孔隙为二者之和：
???P??C
（4.12）
例如对Westerly花岗岩，??0.014,?P?0.002,?C?0.012。岩石中裂纹所占体积虽然不大，但对岩石的弹性模量影响很大，对花岗岩而言，当?C?0.01时，有裂纹岩石的弹性模量与无裂纹的相比相差5倍以上。为描述二相岩石的弹性性质，常引用等效体和等效参数的概念。
4.1.3 岩石，矿物和孔隙流体的弹性参数
矿物、岩石、孔隙流体的弹性参数，已有许多人进行过研究测试。陈顒的
33
讲义P73页分别列出了若干常见矿物、岩石和孔隙流体的弹性常数，值得在实践和研究中对比参照。
4.1.4 有效弹性模量概念
弹性参数很多，对均匀各向同性介质，已知两个弹性参数，可换算出其它的弹性参数（见表3-1）。在讨论体积形变和含孔隙的二相介质时，常用压缩系数?来描述。其定义为
??d(?V)dP?1dVVdP （4.13）
式中?V是岩石体积应变?V/V，按岩石力学的规定，体积减小时，体应变为正。
dV是原始体积为V的岩石受到流体静压力变化（dP）时所产生的体积变化。?是体积模量K的倒数：
??-1
-1
1K?3(1?2?)E （4.14）
-1
，空气的?为无穷大，水的?值均为100Mpa，?的单位通常为兆巴（Mpa）
压缩性小，岩石的?一般为1Mpa-1，运用等效体概念，有效压缩系数也可按Ruess和Voigt公式求出：
NRuess公式： Voigt公式：
?R?1?V?
iii?1
（4.15） （4.16）
N?V??Vii?11?i4.2 流体静压下岩石裂纹对弹性的影响
孔隙和孔隙充填物（流体，软性物质）的存在对岩石的弹性有重要影响，本节主要讨论这一重要影响。
4.2.1 干燥岩石下的walsh公式
设孔隙中是干燥的，仅充气，这时岩石的等效弹性性质与双相介质的性质相似。设含裂隙单位体积岩石的压缩系数为?eff，岩石骨架的压缩系数为?s，则Walsh（1965）给出了下列关系式：
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?eff??s?d?dP （4.17）
这就是著名的walsh（沃什）公式，它表明岩石的有效弹性性质与孔隙度的压力微商有关，而不是直接与孔隙度有关。
可以形式上证明如下：
设岩石的体积为V，其中包括的孔隙体积为VC，则骨架体积为(V?VC)，按（4.13）式有：
?s?d(V?VC)VdP?1dVVdP?1dVCVdPdP??eff?d?dP??eff?d(VC/V) （4.18）
式中规定：?d?dp?dvcvdp，即孔隙度?随压力增加而减小时，符号为负。与公式
（4.17）一致。（4.18）式中的V，严格说来应为V?VC，当VC较小，或?较小时，可用V近似（V?VC）。
严格的证明需要用互易定理（chree，1892）。 孔隙随压力的变化项
d?dP的值与孔隙形状有关，要获得
d?dP的具体形式，需
要对孔隙形状和孔隙密度作进一步的假设。下面以实例进行说明。
4.2.1.1 硬币形（penny shape）椭圆裂纹的有效弹性性质
首先把岩石分成大小相等的N个小单元，小单元的体积为?0，则总体积为
V?N?0，设每个小单元只包含一条裂纹，其半长度为（椭圆形）ai，又设各
单元边界上的应力分布是均匀的，由裂纹的非对称性，边界上各单元的位移可能是不连续的，另一方面，如果假定边界上各单元的应变是均匀的，则单元内应力分布将不均匀，有可能与运动平衡方程式矛盾。讨论裂纹对压缩系数影响的最好方法是利用能量分析。先从Walsh公式出发：
?eff??S?dVCVdP，可改写为：
?eff?(?S?pdP?pdVC)/?pdP
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