82.（2002全国理，18）如图9—26，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直.点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（0＜a＜2）.
（Ⅰ）求MN的长；
（Ⅱ）当a为何值时，MN的长最小；
（Ⅲ）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角α的大小.
图9—26 图9—27
83.（2001春季北京、安徽，19）如图9—27，已知VC是△ABC所在平面的一条斜线，点N是V在平面ABC上的射影，且在△ABC的高CD上.AB＝a，VC与AB之间的距离为h，点M∈VC.
（Ⅰ）证明∠MDC是二面角M—AB—C的平面角；
（Ⅱ）当∠MDC＝∠CVN时，证明VC⊥平面AMB； （Ⅲ）若∠MDC＝∠CVN＝θ（0＜θ＜
?2），求四面体MABC的体积.
84.（2001上海，19）在棱长为a的正方体OABC—O′A′B′C′中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE＝BF．
（Ⅰ）求证：A′F⊥C′E；
（Ⅱ）当三棱锥B′—BEF的体积取得最大值时，求二面角B′—EF—B的大小（结果用反三角函数表示）．
85.（2001全国理17，文18）如图9—28，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，∠ABC＝90°，SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝
12.
（Ⅰ）求四棱锥S—ABCD的体积；
（Ⅱ）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.
86.（2000京皖春理20,文21）在直角梯形ABCD中，如图9—29，∠D＝∠BAD＝90°，AD＝
图9—28 12AB＝a（如图（1）），将△ADC沿AC折起，使D到D′，记面ACD′为α，面ABC为
β，面BCD′为γ．
图9—29
（Ⅰ）若二面角α—AC—β为直二面角（如图（2）），求二面角β—BC—γ的大小；
（Ⅱ）若二面角α—AB—β为60°（如图（3）），求三棱锥D′—ABC的体积．
87.（2000全国理，18）如图9—30，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠
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C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°．
（Ⅰ）证明：C1C⊥BD；
（Ⅱ）假定CD＝2，CC1＝弦值；
（Ⅲ）当
32，记面C1BD为α，面CBD为β，求二面角α—BD—β的平面角的余
CDCC1的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明．
图9—30 图9—31
88.（2000全国文，19）如图9—31，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD．
（Ⅰ）证明：C1C⊥BD；
（Ⅱ）当
CDCC1的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD?请给出证明．
89.（2000上海，18）如图9—32所示四面体ABCD中，AB、BC、BD两两互相垂直，且AB＝BC＝2，E是AC中点，异面直线AD与BE所成的角大小为arccos
1010，求四面体ABCD的体积．
图9—32 图9—33
90.（1999全国文22，理21）如图9—33，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，点E在棱D1D上，截面EAC∥D1B，且面EAC与底面ABCD所成的角为45°，AB＝a.
（Ⅰ）求截面EAC的面积；
（Ⅱ）求异面直线A1B1与AC之间的距离； （Ⅲ）求三棱锥B1－EAC的体积.
91.（1998全国理，23）已知如图9—34，斜三棱柱ABC—A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC＝90°，BC＝2，AC＝23，且AA1⊥A1C，AA1＝A1C.
（Ⅰ）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小； （Ⅱ）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小； （Ⅲ）求顶点C到侧面A1ABB1的距离.
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图9—34 图9—35
92.（1998全国文，23）已知如图9—35，斜三棱柱ABC—A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC＝90°，BC＝2，AC＝23，且AA1⊥A1C，AA1＝A1C.
（Ⅰ）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小； （Ⅱ）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小；
（Ⅲ）求侧棱B1B和侧面A1ACC1的距离.
93.（1997全国，23）如图9—36，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点. （Ⅰ）证明：AD⊥D1F；
（Ⅱ）求AE与D1F所成的角； （Ⅲ）证明：面AED⊥面A1FD1；
（Ⅳ）（理）设AA1＝2，求三棱锥F—A1ED1的体积VF?AED.
11（文）设AA1＝2，求三棱锥E—AA1F的体积VE?AA1F.
图9—36
图9—37
94.（1997上海理）如图9—37在三棱柱ABC—A′B′C′中，四边形A′ABB′是菱形，四边形BCC′B′是矩形，C′B′⊥AB.
（1）求证：平面CA′B⊥平面A′AB；
（2）若C′B′=3，AB=4，∠ABB′=60°，求AC′与平面BCC′所成的角的大小（用反三角函数表示）.
95.（1996上海，21）如图9—38，在二面角α—l—β中，A、B∈α，C、D∈l，ABCD为矩形，P∈β，PA⊥α，且PA＝AD，M、N依次是AB、PC的中点.
（1）求二面角α—l—β的大小；
（2）求证：MN⊥AB；
（3）求异面直线PA与MN所成角的大小.
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图9—38 图9—39
96.（1995全国文24，理23）如图9—39，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，AF⊥DE，F是垂足.
（Ⅰ）求证：AF⊥DB；
（Ⅱ）（理）如果圆柱与三棱锥D—ABE的体积比等于3π，求直线DE与平面ABCD所成的角. （文）求点E到截面ABCD的距离.
97.（1995上海，23）如图9—40，四棱锥P—ABCD中，底面是一个矩形，AB＝3，AD＝1，又PA⊥AB，PA＝4，∠PAD＝60°.
（Ⅰ）求四棱锥P—ABCD的体积；
（Ⅱ）求二面角P—BC—D的大小（用反三角函数表示）.
图9—40 图9—41
98.（1994全国，23）如图9—41，已知A1B1C1—ABC是正三棱柱，D是AC中点. （Ⅰ）证明：AB1∥平面DBC1；
（Ⅱ）（理）假设AB1⊥BC1，求以BC1为棱的DBC1与CBC1为面的二面角α的度数. （文）假设AB1⊥BC1，BC＝2，求线段AB1在侧面B1BCC1上的射影长. 99.（1994上海，23）如图9—42在梯形ABCD中，AD∥BC， ∠ABC＝
?2，AB＝a，AD＝3a，且∠ADC＝arcsin
55，又PA⊥平面ABCD，PA=a.
求（1）二面角P—CD—A的大小（用反三角函数表示）. （2）点A到平面PBC的距离. ●答案解析
1.答案：B
解析：将三角形折成三棱锥如图9—43所示.HG与IJ为一对异面直线.过点D分别作HG与IJ的平行线，即DF与AD.所以∠ADF即为所求.因此，HG与IJ所成角为60°.
评述：本题通过对折叠问题处理考查空间直线与直线的位置关系，在画图过程中正确理解已知图形的关系是关键.通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力.而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向.
2.答案：D
b可能与M平行，b可能与M相交.C选项中须增加a与b相交，则l⊥M.
D选项证明如下：∵a∥N，过a作平面α与N交于c，则c∥a，∴c⊥M.故M⊥N.
评述：本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的基本性质. 3.答案：D
图9—42 图9—43 解析：A选项中，若a∥M，b∥M，则有a∥b或a与b相交或a与b异面.B选项中，b可能在M内，
解析：垂直于同一平面的两直线必平行，因此选D.
评述：判断元素之间的位置关系问题，也可以从元素之间所有关系分析入手，再否定若干选项.如A，因为α、β有两种位置关系，在α与β相交情况下，仍有α⊥r，β⊥r.因此，α∥β是错误的.
4.答案：A
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解析：∵CD在平面BCD内，AB是平面BCD的斜线，由三垂线定理可得A. 5.答案：B
解析：（1）、（4）是正确命题.因为α∥β，l⊥α，∴l⊥β. 又m?β，∴l⊥m.因为l∥m，l⊥α，∴m⊥α，∴β⊥α.
6.答案：D
解析：如图9—44，该旋转体的体积为圆锥C—ADE与圆锥B—ADE体积之差 又∵求得AB=1
∴V?VC?ADE?VB?ADE?13???3?512?3???3?1?3?2
7.答案：C
解析：设该长方体水箱的长、宽、高分别为x、y、z，∴x·y·z=4 ∴原长方形中用于制作水箱的部分的长、宽应分别为x+2z，y+2z （如图9—45中（2）所示）
从而通过对各选项的考查，确定C答案.
图9—45
8.答案：C
解析：如图9—46，作出轴截面，设公共底面圆的半径为R，圆锥的高为h ∴V锥=
13πR2h，V
半球=
12·
334πR
∵V锥=V半球，∴h=2R ∴tanα=
12
1∴cosθ=
1?tan2?1?41?tan2???31?15 49.答案：C 解析：V甲=64·
43π·（
a13
4·
2）=
16πa3，
S2
甲=64·4π·（
a4·
12）=4πa2
V乙=
43π（a·
12）3=
16πa3，S2乙=4π（a·
12）=πa2
∴V甲=V乙，S甲＞S乙.
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图9—44 图9—47