小学五年级奥数教程
以下练习题，每题请在30秒钟时间内完成，同学们，抢答开始啦，准备好了吗？ 1. 一个两位数，它的个位数字与十位数字的和与积都等于4，这个两位数是 。 2. 99999999的末位数字是 。
3. 两个质数的和是33，问这两个质数的积是 。 4. 计算：74×272727÷747474= 。 5. 不超过1.72的最大整数是 。
6. 鸡兔同群，足数为头数的2倍又多16，问其中兔的只数是 只。 7. P为质数，P4＋3仍为质数，那么P5＋3的值是 。
8. W为不超过2000的最大的那个完全平方数，问1998＋W的值是 。 9. 有白、红、黑三种颜色的球，白球、红球合在一起共10个；、红球、黑球合在一起共7个，黑球、白球合在一起共5个，问三种球共 个。 10. 123456789101112??是把自然数依此写成的数字列，你知道其中第1026个数码是 。
整数的尾数
同学们，在这一周的训练中，为了和全国的小朋友同步学习，所涉及的整数是指自然数和零。
研究整数的性质，不仅有悠久的历史，而且至今仍是数学界的重要课题。在国际、国内大、中、小学的各类数学竞赛中，有关整数性质的试题占据很大的比重。
我们在课堂内已经开始学习有关整数的知识，从这一周开始，张老师与你们一起分几周时间一起来讨论整数的性质及其应用。 一． 整数的乘方
我们把几个相同地板数连乘的运算叫做乘方运算。这在计算正方形的面积或正方形的体积时经常用到。
例如：8×8记作82，读作“八的二次方”或“八的平方”；
8×8×8记作83，读作“八的三次方”或“八的立方”；
8×8×?×8（n个8，n为自然数）记作8n，读作“八的n次方”。 一般地说，n个相同数a的连乘积记作an,即 an=a×a×…×a（n个a）；an“读作a的n次方”。
例题学习（1） 计算：(1) 34×23
(2) 42－24 (3) 6×33 (4) (5+23)×32 (5) 431÷429
分析：加法和减法是第一级运算，乘法和除法是第二级运算，而乘方是属于第三级运
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算。也就是说在不含括号的算式里先算乘方，再乘除，最后是加、减。 解： (1) 34×23=3×3×3×3×（2×2×2）=81×8=648；
(2) 42－24=42－16=26 (3) 6×33=6×27=162 (4) (5+23)×32=（5＋8）×9=13×9=117 (5) 431÷429=（4×4×?×4）÷（4×4×?×4）=4×4=16
31个 29个
二． 整数表示法
利用乘方可以把整数用10的乘方与相应数位上数字的积的和的形式来表示。 如：6435=6×103＋4×102＋3×10＋5；
我们用abcde 表示一个五位数，它的各个数位上的数字分别是a、b、c、d、e，所以
abcde =a×104＋b×103＋c×102＋d×10＋e 例题学习（2）
有三个数字，能组成6个不同的三位数，它们相加的和等于3330，求这三个数字组成的三位数中的最大数。
分析：设三个数字a、b、c可组成6个不同的三位数，abc 、acb 、bac、 bca、 cab 、cba；因此a、b、c互不相等且均不为零。 abc=a×102＋b×10＋c; acb=a×102＋c×10＋b; ……
所以6个三位数的和为222×（a＋b＋c）. 解：222×（a＋b＋c）.=3330
a＋b＋c=15
要得到三位数最大，只有百位上是为9，个位上是1，十位上是15－9－1=5
此三位数为951。
三． 整数的尾数
19931993的末尾数字是几？
这么大的一个数，求它的乘方，再看它的得数末尾数字是几已经把你吓懵了吧，不要急，先来找一下其中的规律吧！
一般地说，自然数的尾数有以下性质：
（1） 两个自然数的和的尾数等于这两个数的尾数的和的尾数。
例：3564＋199943的尾数等于4＋3=7的尾数7；
（2） 两个自然数的积的尾数等于这两个数的尾数的积的尾数。
例：1877×528的尾数等于7×8=56的尾数6；
（3） 一个自然数的n次方的尾数等于这个自然数的尾数的n次方的尾数；
2
例：19931993的尾数等于31993的尾数等于3。
（4） 0、1、5、6的任何次方的尾数始终分别是0、1、5、6。
（5） 4的奇数次方的尾数是4，4的偶数次方尾数是6；9的奇数次方的尾数
是9，4的偶数次方尾数是1。 （6） 2、3、7、8的幂有这样的规律： an的 a 的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 尾数 尾数 n 4n＋1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 4n＋2 1 4 9 6 5 6 9 4 1 0 4n＋3 1 8 7 4 5 6 3 2 9 0 4n 1 6 1 6 5 6 1 6 1 0
四． 例题学习
1、求398050＋398150＋398250＋398350的尾数： 解：398050的尾数是0；398150的尾是1；
398250的尾数是39824×12＋2与22的尾数相同，为4。 398350的尾数是39834×12＋2与32的尾数相同，为9。 0＋1＋4＋9=14
所以：398050＋398150＋398250＋398350的尾数为4。
2、求8383×3838的个位数字：
解：8383=834×20＋3与33尾数相同，为7；
3838=384×9＋2与82尾数相同，为4， 7×4=28。
所以：8383×3838的个位数字是8。
五． 本周练习 1、计算211÷25 2、计算95×97÷98
3、求357798228的尾数。
4、求和69418＋75917－48525的尾数
5、 求算式591×593×595×597×599－592×594×596×598的结果的尾数。 6、一个两位数，在它的中间添上一个0，就比原来的数多720，求所有这样的两位数。 7、2216091－1是一个质数，（它有65050位，是人们用电子计算机找到的）你知道它的
个位数字是几吗？
8、有八个多位数：334021、497219303、77724、16625、13806、28647、175668，其
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中有一个数是两个连续三位数的乘积，请你指出是哪一个？
数的整除
我们都已学过“数的整除”，如果整数a除以自然数b，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。这时候，a是b的倍数，b是a的约数。
在长期的数学实践活动中，人们已总结了许许多多“整除”的规律：
1. 末位数字是0、2、4、6、8的数能被2整除；末位数字是0、或5的数能被5整除；
2. 一个数的各个数位上的数的和能被3或9整除，这个数就能被3或9整除； 3. 一个数的末两位数字能被4或25整除，这个数就能被4或25整除； 4. 一个数的末三位数字能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；
5. 任何一个三位数连着写两次得到一个六位数，这个六位数一定同时能被7、11、13整除。
6. 若一个整数的末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差（或反过来）能被7、11、13整除，则这个数就能被7、11、13整除。
8. 若一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除，则这个数就能被11整除。
例题教学1：小顾买三支铅笔、五支圆珠笔、八本练习本和十二块橡皮；铅笔每支二角四分、圆珠笔每支一元二角六分、商场工作人员要小顾付十七元四角。小顾略微一考虑，说：“阿姨，您算错了，请再核算一下。”请问：小明是怎么知道工作人员算错了帐？为什么？
分析与解：初一看，好象不知道笔记本和橡皮的价钱，是算不清帐的。其实只要动一下脑筋，分析一下是可以回答的。因为这个题目不是要计算出共用去多少钱的准确数，而是只需要说明有没有算错。
铅笔的价钱和圆珠笔的价钱都能被4整除，说明铅笔和圆珠笔的钱数都能被4整除。尽管笔记本与橡皮的单价不知道，但是本数和块数都能被4整除，因此买笔记本和橡皮的钱数也能被4整除。这样，根据整除的性质，四种东西的钱合起来也一定能被4整除。而商场工作人员算的钱是十七元四角是不能被4整除的。所以这笔帐一定是算错了。
例题教学2三年级有72名学生，点心费共交了□52。7□元，（□中数字辨认不清），问每人交了多少钱？ 分析与解：把□52.7□元看作整数A527B，那么A527B一定能被72整除，。72=8×9，而8、9是互质数，所以A527B一定能被8和9同时整除。 先考虑能被8整除，则27B能被8整除，做除法： 270÷8=33??6，而8－6=2，所以B=2。
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又A5272能被9整除，则A＋5＋2＋7＋2=16＋A能被9整除，所以A=2，这样得到点心费总数为252.72元,每人交了 252.72÷72=3.51(元)。
例题教学3 一个五位数，去掉万位和个位上的数字是一个能被2、3、5同时整除的最小三位数，而这个五位数又是能被11整除的最大五位数，求这个五位数。
分析与解：先求能被2、3、5整除的最小三位数，而这个五位数又是能被11整除的最大五位数。我们可以很快地求得中间的三位数应是120，所以这个五位数是A120B。这个五位数是最大五位数，万位上的数字必为9，即A=9。这个五位数是9120B，它能被11整除，所以：（9＋2＋B）－（1＋0）=10＋B能被11整除，所以B=1。
这个五位数是91201。 例题教学4 写下十一个数
8、18、28、38、48、58、68、78、88、98、108。
可否将这些数先划掉一个，接着在剩下的数中划掉两个，再划掉三个、再划掉四个，使得每次划数后剩下的数的和都能被11整除？
如果能，该怎样划？如此不能，请说明理由。 分析与解：观察这十一个数，可以发现： （1）只有一个数88能被11整除； （2） 十一个数之和能被11整除。
如果我们按照题目的要求去完成任务，划掉一个数后，剩下的数的和能被11整除，因此划掉的数也能被11整除，只能是88；
另一方面，划掉四次后，还剩下一个数，能被11整除，这个数也只能是88，因此是不可能的。
所以无法按题目要求划数。
本周练习
1． 六位数234X67能被3整除，求X的值。
2． 已知A＋B=C，由A、B、C三个数字组成的七位数ACCCCCB，一定能被哪几个质数整除？
3． 已知五位数154XY能被72整除，求X＋Y的值。
4． 从0、1、2、3、6、8六个数字中任取四个数字组成四位数，其中能被9整除的
数有哪几个？
5． 把一个三位数的百位和个位上的两个数字位置互换，十位上的数字不动，所得
的新数与原数相等，求这样的数共有多少个？
6． 要使六位数15ABC6能被36整除，而且所得的商最大，A、B、C分别等于几？ 7． 已知六位数19AB93能被33整除，试求此六位数。
8． 用1、2、3、4、5、6组成一个六位数ABCDEF，要求 AB是2的倍数，ABC是3
的倍数，ABCD是4的倍数，ABCDE是5的倍数，ABCDEFG是6的倍数，求所有这样的六位数。 9． 一个小学生不懂指数，把2a×9b误写成一个四位数2a9b，结果恰好是2a×9b=2a9b，
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