APOS理论在初中数学概念教学中运用的策略研究--以函数概念为例(2)

ｓｔｕｄｅｎｔｓｉｎｔｈｅｌｅａｒｎｉｎｇｆｕｎｃｔｉｏｎｃｏｎｃｅｐｔｄｉｄｓｔｕｄｅｎｔｓａｒｅｎｏｔｒｅａｃｈｔｈｅｌｅｖｅｌｏｆｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇｏｆｔｅａｃｈｅｒｆｕｎｃｔｉｏｎｃｏｎｃｅｐｔａｎｄｏｔｈｅｒｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎｓ。ｍａｎｙｎｏｔｗｅｌｌｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｏｆｔｈｅｉｒｄｅｍａｎｄｆｏｒｔｈｅｔｅａｃｈｉｎｇｏｆｃｏｎｃｅｐｔｓｒｅｌａｔｅｄ，ａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｓｕｒｖｅｙｏｎｓｔｕｄｅｎｔｓ‘ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｃｏｎｃｅｐｔｓ。ｔｏｔｅａｓｅｏｕｔｔｈｅｄｉｆｆｉｃｕｌｔｙａｎｄｃａｕｓｅｌｅａｒｎｉｎｇｃｏｎｃｅｐｔ，ｉｎｏｒｄｅｒｔｏａｂｓｔｒａｃｔｌａｙｔｈｅｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｃｏｎｃｅｐｔｔｅａｃｈｉｎｇｓｔｒａｔｅｇｙ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｂｙｃｌａｓｓｒｏｏｍｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅｆｏｕｒｓｔａｇｅｓｏｆＡＰＯＳｔｈｅｏｒｙ，ａｎｄｒｅｃｏｒｄｅａｃｈｐｈａｓｅｏｆｔｈｅａｃｔｉｖｉｔｉｅｓｏｒｇａｍｅｓ，ｓｅｌｅｃｔｅｄｔｈｒｅｅｔｅａｃｈｅｒｓｉｎｖａｒｉｏｕｓｓｔａｇｅｓｏｆｔｈｅｓｃｏｒｅ，ｔｈｅｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇａｎａｌｙｓｉｓｉｓｍａｄｅａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅｆｏｕｒｆｏｒｗａｒｄｔｈｅｅｘｉｓｔｉｎｇｐｒｏｂｌｅｍｓｏｆａｔｔｒｉｂｕｔｉｏｎ．ｓｔａｇｅｓｏｆｆｅａｔｕｒｅｏｆｔｈｅＡＰＯＳｔｈｅｏｒｙ，ａｎｄｐｕｔｓＦｏｕｒｔｈ，ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｓｔｒａｔｅｇｙｍａｋｅｓｕｓｅｏｆｔｈｅｗｏｒｄＡＰＯＳｉｎｔｈｅｔｅａｃｈｉｎｇｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓＡＰＯＳｔｈｅｏｒｙｉｎｔｈｅｃｏｎｃｅｐｔｏｆｃｏｎｃｅｐｔｔｈｅｏｒｙ．Ｔｈｅａｕｔｈｏｒｆｉｒｓｔｓｉｍｐｌｅｓｔａｔｅｍｅｎｔｓｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｕｓｉｎｇｔｅａｃｈｉｎｇ，ｄｅｓｉｇｎｔｈｅｂａｓｉｃｆｒａｍｅｗｏｒｋｏｆｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｃｏｎｃｅｐｔｔｅａｃｈｉｎｇａｎｄｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｔｈｅｃｏｎｃｅｐｔ，ｂａｃｋｇｒｏｕｎｄ；ｔｈｒｏｕｇｈｉｄｅａ，ｆｉｎａｌｌｙｐｕｔｓｆｏｒｗａｒｄｆｉｖｅｔｅａｃｈｉｎｇｓｔｒａｔｅｇｉｅｓ：ｔｈｅ”ｒｅａｌｉｔｙ”ｉｎｔｏｔｈｅ”ｒｅａｌｉＳｔｉｃｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ”，ｂｕｉｌｔｉｎｔｈｅｅａｒｌｙｃｏｎｃｅｐｔｕａｌｆｏｒｍ”；ｔｈｒｏｕｇｈｃｏｎｓｏｌｉｄａｔｉｏｎａｎｄｔｈｅ”ｆｏｒｍａｌａｎｄａｂｓｔｒａｃｔ”ｃｏｎｃｅｐｔ，ａａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ”ｔｈｅｃｏｎｃｅｐＬｔｏｒｅｆｉｎｅｔｈｅｃｏｎｃｅｐｔｓｙｍｂｏｌｓ；ｔｈｒｏｕｇｈｃｌｅａｒｃｏｎｃｅｐｔｏｆｔｈｅｅｓｓｅｎｃｅ；ｔｈｒｏｕｇｈｔｈｅｃｏｎｃｅｐｔｏｆ’’ｃｏｎｔａｃｔ”，ｔｈｅｃｏｎｃｅｐｔｏｆｓｙｓｔｅｍｃｏｕｐｌｉｎｇ．Ｉｎａｌｌ，ＴｈｅｔｅａｃｈｉｎｇｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓｃｏｎｃｅｐｔｉｓｔｈｅｅｔｅｒｎａｌｔｈｅｍｅｏｆｒｅｓｅａｒｃｈｉｎｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｅｄｕｃａｔｉｏｎ，ｔｈｅｓｔａｔｅｍｅｎｔｓｏｆＡＰＯＳｔｈｅｏｒｙｔｅａｃｈｉｎｇｐｒｏｓｐｅｃｔｓ．ｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｃｏｎｃｅｐｔｓ，ｉｓｓｕｅｓｏｎｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｓａｎｄｉｎｓｕｆｆｉｃｉｅｎｃｉｅｓｏｆｔｈｉｓｓｔｕｄｙｉｎｔｈｅｐｒｅｓｅｎｔｔｈｅａｕｔｈｏｒｇｉｖｅｓｓｏｍｅｓｉｍｐｌｅｒｅｓｅａｒｃｈａｎｄＫｅｙｗｏｒｄｓ：ＦｕｎｃｔｉｏｎＳｔｒａｔｅｇｉｅｓＣｏｎｃｅｐｔ；ｔｈｅＴｅａｃｈｉｎｇｏｆＣｏｎｃｅｐｔ；ＡＰＯＳＴｈｅｏｒｙ；ＴｅａｃｈｉｎｇＩＶ导论导论（一）问题的提出１．函数概念教学重要性初中数学教材中函数内容主要体现于代数函数，大致有四个学习点，第一个学习点是八年级上册的一次函数，第二个是八年级下册的反比例函数，第三个是九年级上册的二次函数，第四个是九年级下册的锐角三角函数。数学概念中一个重要的核心概念就是函数的概念，这四个函数学习点在初中数学教材中是逐步深入学习的。初中阶段初步认识和学习的代数函数是高中阶段学习映射条件下的函数概念和高等数学中研究的函数概念的基础，这都充分说明了初中函数概念教学的必要性和重要性。２．数学概念教学的重要性数学是研究现实世界数量关系与空间形式的科学，数学概念形成于数量关系和空间形式的过程之中，是空间形式与数量关系特有的本质属性、精髓和灵魂，是数学科学知识体系的基础。《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》第四部分“课程实施建议”认为，重要的数学概念与数学思想宜体现螺旋上升的原则，遵循逐级递进、螺旋上升的原则。抽象数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程，帮助学生克服机械记忆概念的学习方式ｎ１。由此看出，数学概念及其教学引起了相当的重视。３．ＡＰＯＳ理论对数学概念教学的价值ＡＰＯＳ理论是对数学概念学习过程进行研究而提出的一个理论，具有很强的学科特色。它认为学生认知数学概念要经历“活动”（ａｃｔｉｏｎ）、“过程”（ｐｒｏｃｅｓｓ）、“对象”（ｏｂｊｅｃｔ）和“图式＂（ｓｃｈｅｍｅ）４个阶段，体现了学生理解数学概念的心理特点，揭示了学习数学概念的本质过程。根据数学学科特点建立的教学理论或模式并不多见，那么，笔者对ＡＰＯＳ理论的研究就显得非常有意义。ＡＰＯＳ理论揭示了学习数学概念的心理过程，认为四个阶段发生在学生身上，学生就认知了这个数学概念，这给数学教师提供了一项进行数学概念教学的理论工具。４．现实考虑杜宾斯基（ＥｄＤｕｂｉｎｓｋｙ）在上世纪８０年代提出ＡＰＯＳ理论伊始，该理论就在大学教学中被推广，广泛应用于高等数学各学科，并获得较大成功，得到了他的美【１】全日制义务教育数学课程标准（实验稿）［Ｓ】．中华人民共和国教育部，２００１（７）西南大学硕士学位论文国同行的认可。正是基于其在教学中表现出积极的实践意义，部分具有开阔视野的国内数学专家、学者在９０年代初就对ＡＰＯＳ理论进行了研究，经过创新和改进后在中国中小学进行推广试验，通过大量研究证实，该理论对于基础数学的学习同样也有指导作用。笔者对近１０年发表在国内核心期刊的关于ＡＰＯＳ理论文献的统计，发现如下规律：（１）研究ＡＰＯＳ理论的文献数量呈增加趋势，说明该理论越来越被引起重视；（２）对ＡＰＯＳ理论的探究已不只是停留在理论研究面上，大量的试验用于函数、向量、图形、离散数学等概念的实际教学课堂中；（３）研究者年轻化：随着我国近年师范教育的普及，以及国外先进教学理念的大规模引进，一大批具有创新意识的教师在逐渐国际化的大学课程里吸收和接受了ＡＰＯＳ理论，随着他们走上千万所中小学的工作岗位，ＡＰＯＳ理论也被这些年轻的知识传播者运用和研究；（４）对ＡＰＯＳ理论研究的不平衡面：正因为ＡＰＯＳ理论在国内的火热，研究者对其的侧重点几乎都在于它所具有的创新性和积极意义，在概念的课堂教学中也只是如实照搬ＡＰＯＳ理论，但正如硬币两面论，每种教育方法和理念在实践运用之中都是具有正反两面的。固然ＡＰＯＳ理论具有许多毋庸置疑的优点，但是我们的教育者不能因此对这种理论在应用中可能具有的潜在的一些问题而忽略不计，更不能在中小学的教学中生搬硬套这种理论，而是应持“运用一发现优缺点一改进一运用”的教学态度和方法。本论文正是基于以上缘由进行的问题及对策研究。（二）相关概念界定１．函数函数，英文叫ｆｕｎｃｔｉｏｎ，与“幂”是同义。１６７３年，德国的数学家莱布尼茨把它作为一个数学术语，曲线任意点的横纵坐标、垂线长、切线长、弦长等都可以用函数来定义，任何与曲线上点相关的量都称作函数。瑞士数学家贝努利于１７１８年首次使用变量一词，并给函数下了定义：“常量和变量以任意方式组成的量就叫变量的函数。”１７４８年，著名数学家欧拉在《无穷小分析引论》中将函数定义为“由一些常量与一个变量通过任意方式组成的一个解析式。”１７７５年，欧拉进一步提出：“若某些变量以一种方式依赖于另一些变量，即当另一些变量变化时，某些变最也随着变化，则某些变量称作另一些变量的函数”。我们可以看到，以上的函数概念逐渐转化为现在的函数概念了。“函数”一洞在我国，最．‘一是山李善兰与英闺传教士伟力亚力翻译《代微积拾级》而命名的。李善兰创造性地将ｆｕｎｃｔｉｏｎ译成“两２导论数”，书中将函数定为：“凡此变数中函彼变数，则此为彼之函数”。本研究采用的函数定义是经全国中小学教材审定委员会２００３年初审通过的义务教育课程标准实验教科书《数学》：一般地，设在一个变化过程中有两个变量ｘ，如果对于ｘ的每一个值，都有唯一的Ｙ值与它对应，那么就说Ｘ是自变量，ｙ是Ｘ的函数Ｂ３。２．ＡＰＯＳ理论“反省抽象”理论是由皮亚杰提出的，它是指亲身躬耕实践操作后“抽身＂而出，当一个“旁观者”再次反思和审视操作活动的过程，这时从事的活动成为了思考的对象，并在这个基础上抽象出“结论＂。杜宾斯基口１对其进一步拓展，提出ＡＰＯＳ理论，它实质上是一种建构主义理论。杜宾斯基把数学概念的建构分成：活动、过程、对象和图式四个阶段，ＡＰＯＳ分别是由Ａｃｔｉｏｎ（活动）、Ｐｒｏｃｅｓｓ（过程）、Ｏｂｊｅｃｔ（对象）和Ｓｃｈｅｍｅ（图式）四个单词之首字母组合而成。（１）活动阶段：学生通过适度的“操作活动”进行过程性的体验，感受概念的背景和概念之问的关系，通过“操作活动＂初步感受概念的意义；（２）过程阶段：对前面过程性的“操作活动”进行思考，经历思维的内化和压缩，在头脑中进行描述和反思，抽象出概念特有的基本属性；（３）对象阶段：认识概念本质，对概念进行文本编码，赋予形式化的定义及符号，使其达到精致化，成为一个稳定而又具体的对象；（４）图式阶段：学生不仅知道概念的定义及符号，还要能在与其它概念联系和系统中认识新概念，形成综合的心理图式Ｈ３。ＡＰＯＳ理论特别指出在数学概念学习中，要介绍数学概念产生的现实背景，给学生开展多样化的数学游戏或活动，然后通过已有知识和经验进行反省抽象和思维运算，进而综合思考形式化的定义，最终真正获得数学的概念。３．数学概念及数学概念教学（１）数学概念的涵义Ｗｏｏｌｆｏｌｋ认为“概念是帮人们把大量信息组织成易于储存和管理的单元”，嗨１墨丁（１９８９）认为，“一些事件、模式或物体的心理表征即是概念”∞１，巴塞罗（１９９２）社．２００５．ⅢＥｄＤｕｂｉｎｓｋｙ．Ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇｔｈｅｌｉｍｉｔｃｏｎｃｅｐｔ：ｂｅｇｉｎｎｉｎｇｗｉｔｈａＣｏｏｒｄｉｎａｔｅＰｒｏｃｅｓｓ［Ｊ］．ＴｈｅＪｏｕｒｎａｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ１Ｂｅｈａｖｉｏｒ，１９９６：１６７－１９２．［４】李莉．学生学习数学概念的层次分析叽．数学教育学报，２００２（３）：４４．ＩＳ】ＡｎｉｔａＷｏｏｌｆｏｌｋ著．何先友等译．教育心理学（第十版）【Ｍ】．北京：中国轻工业出版社，２００８：２９７．旧ＪＧａｌｏｔｔｉ．Ｈ．Ｍ．Ｃｏｇｎｉｔｉｖｅｐｓｙｃｈｏｌｏｇｙｉｎａｎｄｏｕｔｏｆｔｈｅｌａｂｏｒａｔｏｒｙ．ＢｒｏｏｋｓｃｏｒｅｐｕｂｌｉｓｈｉｎｇＣｏｍｐａｎｙ（１９９４）：１６６．弓【２１人民教育出版社中学数学室编著．九年义务教育三年制初级中学教科书代数（第三册）【Ｍ】．北京：人民教育出版西南大学硕士学位论文认为“概念是使人们区别出属于某一类别的成员和不属于该类别成员的信息”盯３，濮安山认为“反映事物的本质属性的思维形式就是概念”随３，喻平认为“概念能够反映事物的本质，它是对一类事物进行概括的表征”㈨。鲍建生教授认为，“数学概念是指数学符号代表的、经过抽象概括的、具有共同属性的数学对象、关系和性质＂ｎ０｜。十三院校编的教材教法认为：“数学研究的对象是现实世界的空间形式和数量关，数学概念是反映这些数学对象的本质属性和特征的思维形式”…，。李善良博士在对概念的历史认识的基础上，总结出“数学概念是一类数学对象的本质属性的反映，是学生不断感知经验的活动过程，是主体对客体的不断加工、修正，最终达到主体对客体的建构过程＂ｎ副。“某个概念的等价定义在人们头脑中形成的命题表象和网络就是概念域ｎ３¨’。数学概念的由来一般有两个：“或者直接从本研究中，笔者认同十三院校编的教材教法对数学概念的研究：“数学研究的（２）数学概念教学笔者查阅相关文献，没有找到关于“数学概念教学＂的具体定义。因此，本９９２．ＣｏｇｎｉｔｉｖｅＰｓｙｃｈｏｋ＿’ｇｙ：ａｒｔｏｖｅｒｖｉｅｗｆｏｒｃｏｇｎｉｔｉｖｅｓｃｉｅｎｔｉｓｔｓ．ＨｉｌｌｓｄａｌｅＮｅｗＪｅｒｓｅｙ：ＬａｗｒｅｎｃｅＡｓｓｏｃｉａｌｅｓ．ｐｕｂｌｉｓｈｅｒ‘ｓ．Ｊｊ１５３．Ｉ．Ｓ】喻。ｒ数学学习心理的ＣＰＦＳ结构理论【Ｍ】．南弓。：广‘两教育…版礼．２００８：１６．客观事物的数量关系和空间形式而得，或者在抽象的数学理论基础上经过多级抽象概括所得”［１４］ｏ喻平认为数学概念有３个特点ｎ扪：对同一个概念可以采用彼此等价的定义去描述同一个概念；不同背景下可以赋予一个概念新的意义；定义一个新概念往往要用到诸多的旧概念。对象是现实世界的空间形式和数量关系，数学概念是反映这些数学对象的本质枷性和特征的思维形式ｎ６ｈ，“数学概念是对一类数学对象的本质属性的反映，足。学生不断感知经验的活动过程，是主体对客体不断加工、修正，最终达到主体对客体的建构过程＂ｕ¨。研究中笔者根据自己的经验和理解认为数学概念教学是指在数学课堂中教师对数学概念进行讲解与学生接受、掌握并且能灵活运用数学概念的活动过程。“数学概念教学的最终目的是学生运用数学概念建构并形成学习者的概念Ｉ硎络”¨刖。［７］Ｂａｒｓａｌｏｕ．Ｌ．ｗ．１Ｅｒｌｂａｒｒｍｆ８】濮安山主编．中学数学教学ｉ：＝ｃ：ｌＭｌ．Ｉｌｌ一，；，Ｊ－，滨：哈尔滨工业大学出版社．２００２：９１．１９１喻骶数学教育，ｔＬｑＵ！＇－］－＇－＇ＩＭＩ．Ｉ柯宁：Ｊ“Ｐｑ教育Ⅲ版社．２００４：１９２．Ｈｏ］鲍建生等．数学！学习的，巴，ｊｌｌ！Ｊ。㈨｜ＩＪｊ过程【Ｍ川二海教育ｆ¨版社，２００９：９６－９７．…】Ｉ。三院校协编组编．?扣≯数学救｛４教法【Ｍ】．北京：高等教育Ⅲ版社．１９８７：１１３．［１２１李善良．现代认知脱下的数学概念学习ｏｊ教学理论研究【Ｄ】．南京：南京师范人学．２００２．【¨】Ｈ俞、ｒ数学学习心理的ＣＰＦＳ结构雕论ＩＭ】．南宁：广两教育…版礼．２００８：１６．１９．Ｉ¨啦｛！！建生，周超．数学学习的一心理Ｊ占础’ｊ过程【Ｍ】．Ｉ：海：Ｉ：海教育…版事Ｊ：．２００９：１０９－ｌｌＵ㈣卜三院校协编；｛；儿编．中学数学教利教法ｌＭ］．＝ＩＥ京：高等教育川ｈ豆礼．１９８７：１１３．【ｎ１李善良．现代认ｊ：¨观下的数学概念学习’ｊ教学［Ｍ］．南京：江另：教育川饭礼，２００５：４６．【１８１易旦．莽于建构主义理论的数学概念教学模式研究【Ｄ】．广‘两：广两师范人学，２００６，（３）．４