APOS理论在初中数学概念教学中运用的策略研究--以函数概念为例(8)

西南大学硕士学位论文师在讲解这一节内容时用了２个课时，首先是１１．１．１、１１．１．２变量和函数的内容，其次是１１．１．３函数图像的内容，以下是将两节课的内容整合在一起的。１１．１变量和函数１．自老师：“人不能两次踏入同一条河流”。运用一个哲学问题来引入新课，同时借助了数学史运动变化的量—÷变量的知识引导学生思考。（１）如果弹簧原长ｌＯｃｍ，每ｌｋｇ重物使弹簧伸长３个生活实例的导入。０．５ｃｍ，怎样用含重物质量ｍ（ｋｇ）的式子表示受力学生回答：（１）Ｚ＝１０＋Ｏ．５后弹簧的长度Ｉ（ｃⅢ）？（２）怎样用含圆半径ｒ的式子表示圆面积ｓ？（２）Ｓ＝／ｃｒ‘（３）用ｌｏｒｅ长的绳子围成长方形。设长方形的长为（３）ｓ＝ｘ（５一ｘ）ｘｍ，面积为Ｓｍ‘，怎样用含ｘ的式子表示Ｓ？２．常量、变量的概念小纽合作讨论在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量。老师问：上述３个问题中，哪些是变量？哪些是常量？３．自变量、函数的概念反思前面的例题，分别在例子中找出自变量和函数。ｔｌ２３４……Ｓ６０１２０１８０２４０……Ｉ设在一个变化过程中，有两个变量ｚ、ｙ，对于ｘ的每一个确定的值，ｙ都有唯一确定的值与之对应。那么，我们就说．），是Ｘ的函数，其中Ｘ是自变量。这里的活动更多，白老师为学生准备了纸质的平１：扛ｉ４．函数的图象白老师：正方形的边长为ｘ与面积ｓ的函数关系为直角坐标系，方便学生作图。Ｓ＝ｘ２，你们能想到更直观地表示ｓ与ｘ关系的方法吗？此时，白老师要求学生们在平面直角坐标系中画出５．例题讲解这个函数的图像，并找到运用代数方法求解的ｂ的己知点Ａ（３，ｂ）在函数ｙ＝２ｘ－４的图像上，求ｂ的值。值。此时，点Ａ在图像上所对应的何处？同时，臼６．老师总结及作业老师借此讲解列表法，顺次在坐标系中描点，至少画出这些函数的图像：Ｙ＝ｘ＋０．５，Ｙ＝－－Ｘ２，…“五点”。我们可以看到，白老师的课堂显得非常的丰富和充实，该老师很注重引导学生自己去发现、归纳和总结规律。白老师结合前面所学的平面直角坐标系知识引入新知识，让学生们相互讨论，参与探究与学习环节。因此，笔者认为，白老师的课堂让学生在认知、理解、掌握和运用函数概念方面都得到了发展。２．学生对数学概念教学的需求情况函数概念属于数学概念的范畴，函数概念是数学学习中的一个重要的概念，也是数学概念中的核心概念，研究学生对数！学概念ｉ，ｆ勺认知需求，也是学生对函数概念认知的渴望。冈此，笔者在本研究中采取发放学（！Ｊｉ问卷，根据他们回答问题的情况，了解他们对数学概念教学的需求，希望教师提供的教学方式方法，梳理出他们对于数学概念学习感到困难的原因，最终提炼适当的概念教学课堂教学刈‘策。３０二、ＡＰＯＳ理论在数学概念教学中运用的课堂实录由于本研究所需的学生问卷调查与文献资料中的问卷有共通之处，所以笔者采用的学生问卷是２０１２年３月华东师范大学徐晓燕的学生问卷。该学生问卷采用了李克特量表形式，学生的回答分为３种类别：“不同意”、“说不清楚”和“同意”。笔者根据研究需要对全校学生进行了随机发放问卷，一共发放了２００份问卷，收回１９８份有效样卷，回收率为９９％，具有研究的可行性和有效性。该问卷提纲是调查学生对教师授完课的一个心理感受，一共设计了３０道问题，主要从５个维度来进行设计问题，这５个维度分别是关于概念背景知识、关于学生的学习兴趣、关于教师的教学方式方法、关于概念的内涵与外延和关于学生自身评价对数学概念理解的影响，通过对这５个维度的调查来了解学生对数学概念教学的需求情况。以下是笔者将每个维度的调查情况进行呈现，然后一一作了简要的分析。（１）关于概念背景知识的调查在整个数学结构和体系中，处处体现着数学家的发现和研究的智慧，概念的产生、形成过程、作用、数学家的精神品质等都是数学概念的背景知识。１．我愿意了解概念产生的背景，这对我理解概念有帮助。３．如果新概念和学过的概念有联系，可以加深我对概念的理解。概念的理解。不同意Ｉ说不清楚ｌ同意２．２０％Ｉ１３．９０９６Ｉ８３．９０９６数据显示，学生对概念产生的背景、概念的作用和概念与相关概念的联系分别占到７５．６％、８３．９％和８０．７％，也就表示学生若知道和了解数学概念产生的背景、概念的作用，以及这个概念跟学习过的概念有关联时，就有利于学生对这个概念的理解。由前面的教师访谈，很难看出教师设计了有关函数概念的背景知识及产生渊源，在这里学生提出了相应的需求，这也是学生感兴趣的。数学中的很多概念，都有着最初的原始状态，由于要进行理论的完善和解决更加复杂的问题，人们就对原始概念进行扩充与推广才形成今天较为精确的概念。在讲授新概念的之前，让学生对概念的背景知识有所了解，并模拟数学家的创造活动，在做的过程中学习数学概念，有利于锻炼与启发学生的思维能力和想象能力。（２）关于学生学习兴趣的调查兴趣是个体认知和研究获得知识的一种心理倾向，是学生学习的内在动力，如果学生对某物感兴趣就会专心致志地去钻研，从而提高学习效果。西南大学硕士学位论文４．学习新概念时，我总是很兴奋。７．直接给出一个新概念的定义，我很快理解它。不同意说不清楚同意不同意说不清楚同意１５．７０％５２．２０％３２．１０％３４．３０％４４．２０％２１．５０％５．用有趣的故事引入概念我更愿意去理解它。８．不管概念有多难，我总要想方设法弄明白。同意说不清楚同意不同意说不清楚同意４．３０％２２．３０％７３．４０％２０．２０％４３．６０％３６．２０％６．和生活实际相联系时，我也更愿意去理解它。不同意说不清楚同意５．３０％２０．６０％７４．１０％数据显示，第５、６题的比例是７３．４％和７４．１％，表明学生比较喜欢教师能用生动的故事或者这个概念与实际生活紧密联系时，学生的兴趣更大，更愿意去理解它：但若是教师直接给出概念的定义，学生的认同度较低。而且当学生学习一个新概念的时候，一开始学生并不是很感兴趣。通过上面学生对问题的回答，以及笔者与学生的交谈发现，在进行数学概念教学时，有的学生感到枯燥乏味，希望老师课堂上减少习题的演练，重视对概念形成于发生发展过程。因此，学生的学习兴趣是理解概念的重要原因，教师在教学时更应注意引入学生感兴趣盼话题来（３）关于教师教学方式方法的调查教师的教学方式方法是师生为了实现共同的教学目的，完成共同的教学任务，９．如果老师讲得清晰透彻，我就能理解概念。１３．我喜欢老师提问题，自己去发现归纳概念。不同意说１ｉ清楚Ｈ愆不同意说不清楚同意２．３０％１７．３０％８０．ｄ０％２２．５０％４９．００％２８．５０％１０．如果和同学讨论，我就能更好地理解概念。１４．用多媒体讲解概念，我觉得很好理解。不同意说不清楚同意不同意说彳ｉ清楚Ｊ司意９．１０％３４．４０％５６．５０％１９．１０％３８．２０％４２．７０％１１．我喜欢自己去发现一个新概念的定义，这有１５．有些概念老师没必要讲太多，我很容易就理助于我对概念的理解。解了它。不同意说０ｉ精楚同意不川意说爿ｉ清楚同意１８．９０％４９．２０％３１．９（髓２９．６０％４３．１（）％２７．３０％１２．老师提…的问题富有启发性，我会积檄心芍并去理解它。／ｆｉＭ意说４ｉ清楚川懑５．２０％３６．２０％５８．６０％展开。在教学过程中运用的手段和方式的总称。二、ＡＰＯＳ理论在数学概念教学中运用的课堂实录数据显示，在数学概念教学中，学生希望老师讲解清楚和老师提带有启发性问题的比例占了８０．４％和５８．６％，与同学间的相互讨论的比例占５６．５％，这样能更好地理解数学概念。而并非想象中的那样，学生都喜欢自己去探究，自己归纳概念，大多数学生还是习惯于教师讲，学生听的讲授式教学，从上面学生在问卷中的回答可见一斑。教师在进行概念教学时恰当的教学方式方法能够让学生在一节课中获得大量的数学知识，激发学生的数学学习兴趣。（４）关于概念内涵和外延的调查概念的含义是概念的内涵，它反映了事物的本质属性，，而概念所适用的范围就是概念的外延。１６．讲解概念时，如果举出很多的例子，我就能理解。１８．适当的反例会有助于我对概念的理解。１，７?老师举的例子太多了，反而把我都搞糊涂１９．把正例和反例放一起时，我就不理解了。不同意Ｉ说不清楚ｌ同意不同意Ｉ说不清楚ｌ同意４１．３０９６ｌ３６．１０９６Ｉ２２．６０９６５４．１０９６ｌ３０．１０９６ｌ１５．８０％数据显示，适当的反例会帮助学生更好地理解概念，比例占６４．０％，说明在数学概念教学过程中，学生还是希望老师能举一些正例和反例帮助他们理解概念，同时又不希望举出的实例太多，要掌握到一个恰好的度。因此，笔者认为对于数学概念的应用，教师的语言组织和活动安排应尽量让实例的跳跃性不能太大，加强实例的层次性。（５）关于学生自我评价的调查学生对概念理解与否的自我评价，是学生自我意识的一种表现形式。２０．当我给同学讲一个概念时，我觉得自己理解２６．当我找到了新概念和旧的概念的联系和区了。别时，我认为自己理解的很深刻。９．如果老师讲得清晰透彻，我就能理解概念。２７．当我意识到重要的概念还是一种解题方法，我会感觉到自己理解得很透。２２．我用自己的话叙述概念，有助于我的理解。２８．当我理解概念，我觉得自己适合学习数学。西南大学硕士学位论文２３．只要我把课本上的习题做对了，我觉得自己理解了概念。２９．学习概念的过程中，我会经常反思自己的学习方法。２４．考试中的概念题我做对了，我才会觉得理解了它。３０．当我理解了概念后，我就对自己学好数学充满了信心。没能正确的理解概念。不同意３６．３０％ｌＩ说不清楚３６．６００／，ｌＩ同意２７．１０％数据显示，很多学生认为，如果能够自己进行重新叙述语言时会有助于对概念的理解，比例占６２．７％；学生认为将自己掌握的概念讲解给其他同学，举出课本以外的例子，找到了新旧概念之间的区别时，学生就认为自己理解了概念的认同度基本为５４．５％、５６．３％和５５．７％，而当他会做课本中的习题或者考试中的习题时，他并不认为它理解了概念，认同度只有２４．３％并１：１３５．６％；而自己对概念是否理解与老师的评价的关系并不明确，“不同意＂、“说不清楚”共计７２．９％；当学生真正理解了概念，他会对学习数学概念更感兴趣和更有信心，分别占６３．４％、５５．６％；而学生并没有按老师的希望去反思自身的学习方法。笔者认为，学生希望教师能给以他们更多与同学讨论的机会，真正理解和掌握了数学概念，才会对以后的学习更有兴趣和充满自信心。（三）教学过程层面教学过程是教师的教与学生的学在课堂上呈现的一利，交互关系，ＡＰＯＳ理论是一个具有数学特色的教学理论和模型，有两个主要的应用：一。是刻画学生学习数学概念的认知过程，二是基于前者的教学设计。基于此，笔者通过课堂观察记录了解到３位老师的课堂教学流程，了解到３位老师在概念教学中是如何运用ＡＰＯＳ理论进行指导教学的。笔者依据初中《课标》、已有文献对ＡＰＯＳ理论指导下的函数概念教学各个阶段或建构层次的目标的分析及研究，初步建构出ＡＰＯＳ理论指导下各个阶段在概念教学中需要达成的目标，如下表所示：