【点评】此题是圆的综合题，主要考查了三角形内心，圆的有关性质，相似三角形的判定和性质，切线的判定，平行线的性质和判定，求出DB是解本题的关键．
24．（14分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，1），二次函数y=x2+bx﹣的图象经过点C． （1）求二次函数的解析式，并把解析式化成y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）把△ABC沿x轴正方向平移，当点B落在抛物线上时，求△ABC扫过区域的面积；
（3）在抛物线上是否存在异于点C的点P，使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点C的坐标代入抛物线的解析式可求得b的值，从而可得到抛物线的解析式，然后利用配方法可将抛物线的解析式变形为y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）作CK⊥x轴，垂足为K．首先证明△BAO≌△ACK，从而可得到OA=CK，OB=AK，于是可得到点A、B的坐标，然后依据勾股定理求得AB的长，然后求得点D的坐标，从而可求得三角形平移的距离，最后，依据△ABC扫过区域的面积
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=S四边形ABDE+S△DEH求解即可；
（3）当∠ABP=90°时，过点P作PG⊥y轴，垂足为G，先证明△BPG≌△ABO，从而可得到点P的坐标，然后再判断点P是否在抛物线的解析式即可，当∠PAB=90°，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，同理可得到点P的坐标，然后再判断点P是否在抛物线的解析式即可．
【解答】解：（1）∵点C（3，1）在二次函数的图象上， ∴x2+bx﹣=1，解得：b=﹣， ∴二次函数的解析式为y=x2﹣x﹣ y=x2﹣x﹣=（x2﹣x+（2）作CK⊥x轴，垂足为K．
﹣
）﹣=（x﹣）2﹣
∵△ABC为等腰直角三角形， ∴AB=AC． 又∵∠BAC=90°， ∴∠BAO+∠CAK=90°． 又∵∠CAK+∠ACK=90°， ∴∠BAO=∠ACK．
在△BAO和△ACK中，∠BOA=∠AKC，∠BAO=∠ACK，AB=AC， ∴△BAO≌△ACK． ∴OA=CK=1，OB=AK=2． ∴A（1，0），B（0，2）．
∴当点B平移到点D时，D（m，2），则2=m2﹣m﹣，解得m=﹣3（舍去）或m=．
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∴AB==．
×
=9.5
∴△ABC扫过区域的面积=S四边形ABDE+S△DEH=×2+×（3）当∠ABP=90°时，过点P作PG⊥y轴，垂足为G． ∵△APB为等腰直角三角形， ∴PB=AB，∠PBA=90°． ∴∠PBG+∠BAO=90°． 又∵∠PBG+∠BPG=90°， ∴∠BAO=∠BPG．
在△BPG和△ABO中，∠BOA=∠PGB，∠BAO=∠BPG，AB=PB， ∴△BPG≌△ABO． ∴PG=OB=2，AO=BG=1， ∴P（﹣2，1）． 当x=﹣2时，y≠1，
∴点P（﹣2，1）不在抛物线上．
当∠PAB=90°，过点P作PF⊥x轴，垂足为F． 同理可知：△PAF≌△ABO， ∴FP=OA=1，AF=OB=2， ∴P（﹣1，﹣1）． 当x=﹣1时，y=﹣1，
∴点P（﹣1，﹣1）在抛物线上．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、平移的性质、全等三角形的性质和判定，作辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．
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