上海市重点中学重要考题精选及精解（1）
1、（14分）已知集合A?{x|求实数a的取值范围。
解：A?(??,2]?(3,??)，B?[2a?2,2a?2]
x?2R，?0,x?R},B?{x|x?2a|?2,x?R}，若A?B?x?3?2a?2?21A?B?R若，则?，得?a?2
2?2a?2?32、（16分）已知关于x的不等式(kx?k2?4)(x?4)?0，其中k?R。 ⑴试求不等式的解集A；
⑵对于不等式的解集A，若满足A?Z?B（其中Z为整数集）。试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由。
解：（1）当k?0时，A?(??,4)；当k?0且k?2时，A?(??,4)?(k?4,??)； k当k?2时，A?(??,4)?(4,??)；（不单独分析k?2时的情况不扣分） 当k?0时，A?(k?4,4)。（10分） k（2） 由（1）知：当k?0时，集合B中的元素的个数无限；
当k?0时，集合B中的元素的个数有限，此时集合B为有限集。（12分） 因为k?4??4，当且仅当k??2时取等号， k所以当k??2时，集合B的元素个数最少。（14分） 此时A???4,4?，故集合B???3,?2,?1,0,1,2,3?。（16分）
3、（18分）对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为G函数。
① 对任意的x?[0,1]，总有f(x)?0；
② 当x1?0,x2?0,x1?x2?1时，总有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)成立。
2x已知函数g(x)?x与h(x)?a?2?1是定义在[0,1]上的函数。
（1）试问函数g(x)是否为G函数？并说明理由； （2）若函数h(x)是G函数，求实数a的值；
（3）在（2）的条件下，讨论方程g(2?1)?h(x)?m(m?R)解的个数情况。 解：（1） 当x??0,1?时，总有g(x)?x?0，满足①， ???1分
2x - 1 -
当x1?0,x2?0,x1?x2?1时，
g(x1?x2)?x12?x22?2x1x2?x12?x22?g(x1)?g(x2)，满足② ??4分
（2）若a?1时，h(0)?a?1?0不满足①，所以不是G函数； ???5分
若a?1时，h(x)在x?[0,1]上是增函数，则h(x)?0，满足① ???6分 由h(x1?x2)?h(x1)?h(x2) ，得a?2xxx1?x2?1?a?2x1?1?a?2x2?1，
即a[1?(21?1)(22?1)]?1， ???７分 因为 x1?0,x2?0,x1?x2?1 所以 0?21?1?1 0?2xx2?1?1 x1与x2不同时等于1 ?0?(2x1?1)(2x1?1)?1
?0?1?(2x1?1)(2x1?1)?1 ?a?当x1?x2?0时，(1 ???9分
1?(2x1?1)(2x1?1)1)min?1 ?a?1， ???11分 x1x11?(2?1)(2?1) 综合上述：a?{1} ???12分 （3）根据（２）知： a=1，方程为4?2?m，
xx?0?2x?1?1由? 得 x?[0,1] ???１4分
0?x?1?x令2?t?[1,2]，则m?t?t?(t?)?21221 ???１6分 4由图形可知：当m?[0,2]时，有一解；
当m?(??,0)?(2,??)时，方程无解。 ???18分 4．（本题12分）
2已知方程x?px?1?0(p?R)的两根为x1,x2，若|x1?x2|?1，求实数p的值。
解：当
??p2?4?0,即p?2或p??2时,由求根公式得|x1?x2|?2p2?4
由p?4?1,得p?5或p??5 当
??p2?4?0,即-2 - 2 - 5．（本题14分） 设函数f(x)?lgax?5的定义域为A，若命题p:3?A与命题q:1?A有且仅有一个为真命2x?a3a?55?0?a?(,9)； 9?a3题，求实数a的取值范围。 解：设由题意得：当3?A，则有 当q:1?A，则有 a?5?0或a=1?a?5或a?1； 1?a若P真q假，则a??,5?； 若P假q真，则a??9,???????,1?； ?5?3??故：a??,5???9,???????,1? 6．（本题16分）（第（1）小题7分，第（2）小题9分） 已知函数f(x)?loga(ax?1),其中a?0且a?1 （1） 证明函数f(x)的图像在y轴的一侧； （2） 求函数y?f(2x)与y?f?1(x)的图像的公共点的坐标。 解：(1)因为函数f(x)?loga(ax?1)的定义域解不等式a?1?0的解集， xx0当a?1时，不等式a?1?0等价于a?a,即x?0； ?5?3??xx0当0?a?1时，不等式a?1?0等价于a?a,即x?0。 x所以函数f(x)的定义域是(0,??)或(??,0)，所以图像f(x)总在y轴的一侧； ?1xxy（2）由y?loga(ax?1)得a?a?1，即x?loga(ay?1)，所以f?x??logaa?1 ??2x??y?loga(a?1)2xxxx??，消去y，得a?a?2?0，解得a??1或a?2， x??y?loga(a?1)解得??x?loga2 y?log3a??函数y?f?2x?与y?f?1?x?的图像的公共点的坐标是?loga2,loga3?。 7. (本题18分) （第（1）小题6分，第（2）小题6分，第（3）小题6分） 已知f?x??log2x,当点M?x,y?在y?f?x?的图像上运动时，点N?x?2,ny? ?函数y?gn?x?的图像上运动n?N。 ?? - 3 - （1）求y?gn(x)的表达式； （1） 若集合A?{a关于x的方程4g1?x??g2?x?2?a?有实根，a?R}，求集合A； gn?x??1?（3）设Hn?x?????2?,函数F?x??H1?x??g1?x?的定义域为0＜a?x?b,值域为 54?22?log,log?2?，求实数a,b的值。 2b?2a?2??解：（1）据题设，得ny?gn?x?2?且y?log2x, 得 gn?x?2??nlog2x（x＞0） ?gn?x??nlog2?x?2?（x＞?2，n?N?） （2）据题设，得：方程4log2?x?2??2log2?x?a?有实根 即：?x?2??x?a （x＞?2）有实根 2?a?x2?3x?4?（3）据题设，有F?x??7?7? ?A??,??? 4?4?1?log2?x?2? （x＞?2） x?2?1和?log2?x?2?分别是??2,???上的减函数 x?2?F?x?在??2,???上是减函数 ?F?x?区间?a,b?上的值域为??F?b?,F?a??? 4?2Fa?log???2?a?2??52 ?a?2,b?3 ?Fb?log??2?b?2?8. 阅读下面题目的解法，再根据要求解决后面的问题. 阅读题目：对于任意实数a1,a2,b1,b2，证明不等式 (a1b1?a2b2)2?(a1?a2)(b1?b2). 证明：构造函数 2222f(x)?(a1x?b1)2?(a2x?b2)2?(a1?a2)x2?2(a1b1?a2b2)x?(b1?b2). 注意到f(x)?0，所以 2222??[2(a1b1?a2b2)]2?4(a1?a2)(b1?b2)?0， - 4 - 22222(ab?ab)?(a1?a2)(b1?b2). 22即112222（其中等号成立当且仅当问题： a1x?b1?a2x?b2?0，即a1b2?a2b1.） a2b2(a?b)2（1）请用这个不等式证明：对任意正实数a,b,x,y，不等式成立. ??xyx?y（2）用（1）中的不等式求函数y?291?(0?x?)的最小值，并指出此时x的值. x1?2x22222（3）根据阅读题目的证明，将不等式(a1b1?a2b2)2?(a1?a2)(b1?b2)进行推广，得到一个更一般的不等式，并用构造函数的方法对你的推广进行证明. [证明]（1）因为都是a,b,x,y正实数，由已知不等式得 a2b2abab(x?y)(?)?[(x)2?(y)2][()2?()2]?(x??y?)2?(a?b)2xyxyxy， a2b2(a?b)2??yx?y成立. 所以不等式xx?（其中等号成立当且仅当 by?y?ax，即ay?bx.） 0?x?[解]（2）因为 12，所以 292232(2?3)2y??????25x1?2x2x1?2x2x?(1?2x) （其中等号成立当且仅当2(1?2x)?3?2x即 x?11?(0,)52. y?所以函数 2911?(0?x?)x?x1?2x2有最小值25，此时5. [解]（4）可将不等式推广到n元的情形，即 对于任意实数 a1,a2,?,an;b1,b2,?,bn， 2222222(ab?ab???ab)?(a?a???a)(b?b???b)成立.证明1122nn12n12n不等式 如下： - 5 -