又
15792n?12n?3Tn?2?3?4????n?1 ② 22222n2由①—②得Tn?12511?2n?372n?7?1?2?2?3???n??n?1??n?1. 2222?22?2?Tn?7?2n?7 2n31.命题甲: a?R, 关于x的方程|x|?ax?1(a?0)有两个非零实数解;
命题乙: a?R, 关于x的不等式(a2?1)x2?(a?1)x?2?0的解集为空集; 当甲、乙中有且仅有一个为真命题时, 求实数a的取值范围.
解：当甲真时，设y?|x|和y?ax?1 (a?0)，即两函数图象有两个交点. 则0?a?1
?a2?1?0 当乙真时，a?1时 满足 或? 也满足
???0 则?7?a?1 9a?1或a?0??0?a?17??7 ∴当甲乙有但仅有一个为真命题时，即?或?
a?1或a????a?1?9???9 ∴a?[?7,0]?{1} 932.设函数f(x)在(??,??)上满足f(2?x)?f(2?x), f(7?x)?f(7?x)且在闭区间[0, 7]上只有f(1)?f(3)?0.
⑴试判断函数y?f(x)的奇偶性;
⑵试求方程f(x)?0在闭区间[?2005,2005]上的根的个数, 并证明你的结论. 解⑴由f(2?x)?f(2?x)得f(?1)?f(5) ∵在x?[0,7]上只有f(1)?f(3)?0
∴f(5)?0 ∴f(?1)?f(1),且f(?1)??f(1)
故f(x)为非奇非偶函数。
?f(2?x)?f(2?x)?f(x)?f(4?x)⑵由? 得 ?
f(7?x)?f(7?x)f(x)?f(14?x)?? ?f(4?x)?f(14?x)?f(x)?f(x?10) ∴f(x)是以10为周期的函数. 又f(3)?f(1)?0
- 21 -
∴f(11)?f(13)?f(?7)?f(?9)?0
∴f(x)?0在[0, 10]和[?10,0]上各有2个根.
从而方程在[?2000,2000]上有800个根, 而[?2005,?2000]上没有根, 在[2000, 2005]上有2个根.
故方程f(x)?0在[?2005,2005]上共有802个根. 33.设函数f(x)=ax+bx+1（a,b为实数）,F(x)=?2?f(x)(x?0)
??f(x)(x?0)（1）若f(-1)=0且对任意实数x均有f(x)?0成立，求F(x)表达式。
（2）在（1）的条件下,当x???2,2?时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围。 （3）（理）设m>0,n<0且m+n>0,a>0且f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)>0。 解：（1）?f(-1)=0 ∴b2?a?1由f(x)?0恒成立 知△=b2-4a=(a+1)2-4a=(a-1)2?0
?(x?1)??(x?1)2∴a=1从而f(x)=x+2x+1 ∴F(x)=?2(x?0)(x?0)2 ，
（2）由（1）可知f(x)=x+2x+1 ∴g(x)=f(x)-kx=x+(2-k)x+1，由于g(x)在??2,2?上是单调函数,知-
2?k2?k??2或-?2，得k?-2或k?6 ，
22（3）?f(x)是偶函数，∴f(x)=f(x)，而a>0∴f(x)在?0,???上为增函数
对于F(x)，当x>0时-x<0，F(-x)=-f(-x)=-f(x)=-F(x)，当x<0时-x>0，F(-x)=f(-x)=f(x)=-F(x)，
∴F(x)是奇函数且F(x)在?0，???上为增函数，
?m>0,n<0，由m>-n>0知F(m)>F(-n)∴F(m)>-F(n)
∴F(m)+F(n)>0 。
34.已知不等式x–3x+t<0的解集为{x|1 (2)若f(x)= –x+ax+4在(–∞,1)上递增，求不等式log a (–mx+3x+2–t)<0的解集。 2 2 2 ?1?m?3?m?2 (1) 由条件得：?，所以?， 1?m?tt?2??a2aa2(2)因为f(x)= –(x–)+4+在(–∞,1)上递增，所以≥1，a≥2 ，log a 224 - 22 - 3?0?x??22?2x?3x?0，所以??2 ，(–mx+3x+2–t)= log a (–2x+3x)<0=log a 1，所以??2??2x?3x?1?0?x?1或x?1?2?213或1 22x35.函数f(x)=(a，b是非零实常数)，满足f(2)=1，且方程f(x)=x有且仅有一个解。 ax?b所以0 (1)求a、b的值； (2)是否存在实常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立？为什么？ (3)在直角坐标系中，求定点A(–3,1)到此函数图象上任意一点P的距离|AP|的最小值。 (1)由f(2)=1得2a+b=2，又x=0一定是方程所以 x=x的解， ax?b1=1无解或有解为0，若无解，则ax+b=1无解，得a=0，矛盾，若有解为0，则b=1， ax?b1所以a=。 22x(2)f(x)=，设存在常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立， x?22m取x=0，则f(0)+f(m–0)=4，即=4，m= –4(必要性)，又m= –4时， m?22x2(?4?x)?f(x)+f(–4–x)==……=4成立(充分性) ，所以存在常数m= –4，使得对x?2?4?x?2定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立， x?22 )，设x+2=t，t≠0， x?2t?422816442422216则|AP|=(t+1)+()=t+2t+2–+2=(t+2)+2(t–)+2=(t–)+2(t–)+10 ttttttt44?1?17?5?172 =( t–+1)+9， 所以当t–+1=0时即t=，也就是x=时，|AP| min = 3 。 tt22(3)|AP|=(x+3)+( 2 2 36.已知 f(x)??3x?a(6?a)x?b。 （1）解关于a的不等式f(1)?0． （2）当不等式f(x)>0的解集为（-1，3）时，求实数a,b的值 解：（1）f(1)=-3+a(6-a)+b =?a?6a?b?3, ∵ f(1)>0 ∴?a?6a?b?3?0, △=24+4b,当b≤-6时，△≤0,∴ f(1)>0的解集为φ； 当 b>-6 时 ， 2223?b?6a?3?∴ 6f(1)>0b??的解集为 ?x|3? b?6?a?3?b?6? - 23 - （2）∵ 不等式-3x2+a(6-a)x+b>0的解集为（-1，3）, ∴ f(x)>0与不等式(x+1)(x-3)<0同解,∵3x2a(6-a)x-b<0解集为（-1，3） a(6?a)?2????a?3?3?3∴ ?,解之得? b?b?9?3???3? 41、（本题满分18分） ?2(1?x)，(0?x?1)f(x)?f(x)?f{f[?f(x)?]}?设n为正整数，规定：n． ???????，已知x?1(1?x?2)，?n个f （1）解不等式：f(x)≤x； （2）设集合A?{0，1，2}，对任意x?A，证明：f3(x)?x； （3）探求f2006()； （4）若集合B?{x|f12(x)?x，x?[0，2]}，证明：B中至少包含有8个元素． 解：（1）①当0≤x≤1时，由2(1?x)≤x得，x≥．∴≤x≤1． ②当1＜x≤2时，因x?1≤x恒成立．∴1＜x≤2． 2 由①，②得，f(x)≤x的解集为{x|≤x≤2}． 3232389 （2）∵f(0)?2，f(1)?0，f(2)?1， ∴当x?0时，f3(0)?f(f(f(0)))?f(?f(2))?f(1)?0； 当x?1时，f3(1)?f(f(f(1)))?f(f(0))?f(2)?1； 当x?2时，f3(2)?f(f(f(2)))?f(f(1))?f(0)?2． 即对任意x?A，恒有f3(x)?x． （3）f1()?2(1?)?898989892882148814145，f2()?f(f())?f()?，f3()?f(f2())?f()??1?， 999999999959598，…… 9 f4()?f(f3())?f()?2(1?)?8989 一般地，f4k?r()?fr()（k，r?N）． ? 8814f2006()?f2()?. 99923222222 ，∴fn()?．则f12()?．∴?B． 333333 （4）由（1）知，f()? 由（2）知，对x?0，或1，或2，恒有f3(x)?x，∴f12(x)?f4?3(x)?x．则0，1， - 24 - 2?B． 由（3）知，对x?238214582145，，， ，恒有f12(x)?f4?3(x)?x，∴，，，?B． 99999999 综上所述，，0，1，2，，， 8929145，?B．∴B中至少含有8个元素． 9942、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分。 已知函数f(x)?（1）求m的值； （2）请讨论它的单调性，并给予证明。 （7＇＋7＇）（1）?f(x)是奇函数，?f(?x)?f(x)?0； 21?mx?log2是奇函数。 x1?x21?mx21?mx?log2)?(?log2)?0，解得：m?1，其中m??1（舍）； x1?xx1?x21?x(x???1,0???0,1?)确是奇函数。 经验证当m?1时，f(x)??log2x1?x即(?（2）先研究f(x)在（0，1）内的单调性，任取x1、x2∈（0，1），且设x1 f(x1)?f(x2)??(由1?x121?x22?log2??log2x11?x1x21?x22222?)?[log2(?1)?log2(?1)], x1x21?x21?x12222??0,log2(?1)?log2(?1)?0,x1x21?x21?x1得f(x1)?f(x2)>0，即f(x)在（0，1）内单调递减； 由于f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，所以函数f(x)在（－1，0）内单调递减。 43、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分, 第3小题满分8分。 （理）已知函数y?f(x),x?R满足f(x?1)?af(x)，a是不为0的实常数。 （1）若函数y?f(x),x?R是周期函数，写出符合条件a的值； （2）若当0?x?1时，f(x)?x(1?x)，且函数y?f(x)在区间?0，???上的值域是闭区 间，求a的取值范围； x?x（3）若当0?x?1时，f(x)?3?3，试研究函数y?f(x)在区间?0,???上是否可能 - 25 -