222f(x)?(ax?b)?(ax?b)???(ax?b)1122nn设
?(a12?a22???an2)x2?2(a1b1?a2b2???anbn)x?(b12?b22???bn2).
注意到f(x)?0，所以
??[2(a1b1?a2b2???anbn)]2?4(a12?a22???an2)(b12?b22???bn2)?0，
2222222(ab?ab???ab)?(a?a???a)(b?b???b).…15分 1122nn12n12n即
其中等号成立当且仅当即
a1x?b1?a2x?b2???anx?bn?0，
.
aibj?ajbi(i,j?1,2,?,n,i?j) 已知函数f(x)?2x?9.
1.|x| 2 （1）若f(x)?2，求x的值；
（2）若2tf(2t)?mf(t)?0对于t?[2,3]恒成立，求实数m的取值范围. [解] （1）当x?0时，f(x)?0；当x?0时，f(x)?2x? 由条件可知 2x?1.………… 2分 2x12xx?22?2?2?1?0， ，即 x2解得 2x?1?2.………………………………………………………… 6分
?2x?0，?x?log21?2.………………………………………… 8分 1?1??? （2）当t?[1,2]时，2t?22t?2t??m?2t?t??0，…………………10分
2?2???即 m22t?1??24t?1.
???????22t?1?0， ? m??22t?1.……………………………………… 13分
???t?[2,3],???1?22t??[?65,?17]，
故m的取值范围是[?17,??).……………………………………… 16分
10. （本题满分18分）本题共有4个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第1小题满分5分，第2小题满分5分．
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?1?1?,x?0;设函数f(x)是定义在R上的偶函数.若当x?0时，f(x)?? x?0,x?0.?（1）求f(x)在(??,0)上的解析式. （2）请你作出函数f(x)的大致图像.
（3）当0?a?b时，若f(a)?f(b)，求ab的取值范围.
（4）若关于x的方程f2(x)?bf(x)?c?0有7个不同实数解，求b,c满足的条件. [解]（1）当x?(??,0)时，f(x)?f(?x)?1?（2）f(x)的大致图像如下：.
411?1?. …………4分 ?xx321-4-2246-1………… 8分
（3）因为0?a?b，所以f(a)?f(b)
1111?1??1??1??1???1????1?????2，…………………11分
abab?a??b??a?b?2ab?2ab
解得ab的取值范围是(1,??).……………………………………………13分
（4）由（2），对于方程f(x)?a，当a?0时，方程有3个根；当0?a?1时，方程有4个根，当a?1时，方程有2个根；当a?0时，方程无解.…15分
2fx所以，要使关于的方程(x)?bf(x)?c?0有7个不同实数解，关于f(x)的方程
22f2(x)?bf(x)?c?0有一个在区间(0,1)的正实数根和一个等于零的根。
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所以c?0,f(x)??b?(0,1)，即?1?b?0,c?0.………………………18分 11．（本题满分18分，第（1）题5分，第（2）题5分，第（3）题8分）
已知函数f(x)?a?b(x?0)。 |x| （1）若函数f(x)是(0,??)上的增函数，求实数b的取值范围；
（2）当b?2时，若不等式f(x)?x在区间(1,??)上恒成立，求实数a的取值范围； （3）对于函数g(x)若存在区间[m,n](m?n)，使x?[m,n]时，函数g(x)的值域也是
[m,n]，则称g(x)是[m,n]上的闭函数。若函数f(x)是某区间上的闭函数，试探求
a,b应满足的条件。
11解：（本题共3小题，其中第1小题4分，第2小题4分，第3小题8分，满分16分）
解：（1） 当x?(0,??)时，f(x)?a?b x设x1,x2?(0,??)且x1?x2，由f(x)是(0,??)上的增函数，则f(x1)?f(x2) 2分
f(x1)?f(x2)?b(x1?x2)?0
x1x23分
由x1?x2，x1,x2?(0,??)知x1?x2?0,x1x2?0，所以b?0，即b?(0,??) 5分
（2）当b?2时，f(x)?a?22?x在x?(1,??)上恒成立，即a?x? 6分
x|x|
因为x?22?22，当x?即x?2时取等号， 8分 xx22?(1,??)，所以x?在x?(1,??)上的最小值为22。则a?22 x10分
（3）因为f(x)?a?b的定义域是(??,0)?(0,??)，设f(x)是区间[m,n]上的闭函|x|11分
数，则mn?0且b?0
①若0?m?n 当b?0时，f(x)?a??f(m)?mb是(0,??)上的增函数，则?， |x|?f(n)?n - 8 -
所以方程a?2b?x在(0,??)上有两不等实根， x即x?ax?b?0在(0,??)上有两不等实根，所以
?a2?4b?0?2?x1?x2?a?0，即a?0,b?0且a?4b?0 ?x?x?b?0?12当b?0时，f(x)?a?13分
?f(m)?nb?b在(0,??)上递减，则?，即 ?a?|x|x?f(n)?m
b?a??n??a?0?m??，所以a?0,b?0 ?bmn??b?a??m??n?②若m?n?0 当b?0时，f(x)?a?14分
?f(m)?nbb?a?是(??,0)上的减函数，所以?，即 |x|xf(n)?m?b?a??n??a?0?m?，所以a?0,b?0 ???a?b?m?mn?b?n?12、（12分）已知关于x的不等式：
15分
(a?1)x?3?1.
x?1 （1）当a?1时，求该不等式的解集； （2）当a?0时，求该不等式的解集. 解：原不等式化为：
ax?2?0 x?1 （1）当a=1时，该不等式的解集为（1，2）；------------------------------------------4分
2a?0. （2）当a>0时，原不等式化为：
x?12当0
ax? 当a=2时，解集为?；当a>2时，解集为（分
13、（14分）设f(x)?
2，1）. ---------------------4aax2?bx，求满足下列条件的实数a的值：至少有一个正实数b，
- 9 -
使函数f(x)的定义域和值域相同。
解：（1）若a?0，则对于每个正数b，f(x)?bx的定义域和值域都是[0,??)
故a?0满足条件 -------------- 4
分
（2）若a?0，则对于正数b，f(x)?b?? ax2?bx的定义域为D????,????0,???，
a??但f(x)的值域A??0,???，故D?A，即a?0不合条件； -----------4分 （3）若a?0，则对正数b，定义域D?[0,?] (f(x))max?bab2?a，
?a?0bb???a??4 --5分 f(x)的值域为[0,]，则??a2?a2?a?2?a??ab综上所述：a的值为0或?4 ----------1分 14．（本题满分12分）已知a、b是两个互不相等的正实数，比较A=2a?2b与B=a?b的大小。
解：a、b是两个互不相等的正实数可得a?b?2ab………………. 4’ ?2a?2b?a?2ab?b ………………. 4’
?2a?2b?(a?b)2 ?2a?2b?a?b 所以A>B 。 ………………. 4’ 15．（本题满分12分）已知关于x的不等式 （1）当a?4时，求集合M；
（2）若3?M且5?M，求实数a的取值范围。 解：（1）a?4时，不等式为
ax?5?0的解集为M。
x2?a4x?5?0，解之，得 2x?4?5?M????,?2???,2?…………………………………………. 4’
?4? - 10 -