f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)1?f(x1)f(x2)，
（1）写出f(x)的一个函数解析式，并说明其符合题设条件； （2）判断并证明函数f(x)的奇偶性；
（3）若存在正常数T，使得等式f(x)=f(x+T)或者f(x)=f(x-T)对于x∈D都成立，则都称f(x)是周期函数，T为周期；试问f(x)是不是周期函数？若是，则求出它的一个周期T；若不是，则说明理由。
?解：（1）取f(x)=tanx，定义域为{x∣x≠kπ+2，k∈Z}关于原点对称，且0∈D；
且存在常数
a?
?4使得f(a)=tana=1；
f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)1?f(x1)f(x2)。
又由两角差的正切公式知，符合 ……4分 f(0)?f(x)1?f(0)(f)x，
f(0?x)?（2）f(x)是D上的奇函数；证明如下：f(0)=0，取x1=0，x2=x，由得f(-x)=-f(x)，所以f(x)是D上的奇函数；
……4分
（3）考察f(x)=tanx的最小正周期T=π=4a，可猜测4a是f(x)的一个周期。
f(x?a)?f(x)?f(a)f(x)?1?1?f(x)f(a)1?f(x)，则
f(x?a)?1f(x)?1f(x)?11?[?1]?[1?]??1?f(x?a)1?f(x)1?f(x)f(x)，
1?f(x)f（x?2a）。
证明：由已知
f(x?2a)?f[(x?a)?a]?f(x?4a)?f[(x?2a)-2a]??所以f(x)是周期函数，4a是f(x)的一个周期。 24．（本题满分14分）
已知关于x的不等式
……7分
ax?5?0的解集为M。 2x?a（1）当a?4时，求集合M；（2）若3?M且5?M，求实数a的取值范围。 解：（1）a?4时，不等式为
4x?5?5??0??，解之，得 M???,?2??,2?；
x2?4?4??3a?55?0??a?9ora??3?M?9?a??5?（2）a?25时，? ?? ? ?a?1,???9,25?，a?25时，不3??3??5?M?5a?5?0?1?a?25???25?a - 16 -
等式为
25x?5?1??0， 解得??M???,?5??,5?，则 3?M且5?M，∴a?25满足条2x?25?5?件，综上，得 a??1,???9,25? 。 25．（本题满分18分）
已知函数f(x)是定义在??2,2?上的奇函数，当x?[?2,0)时，f(x)?tx?常数）。
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）当t?[2,6]时，求f(x)在??2,0?上的最小值，及取得最小值时的x，并猜想f(x)在
； ?0,2?上的单调递增区间（不必证明）
（3）当t?9时，证明：函数y?f(x)的图象上至少有一个点落在直线y?14上。 解：（1）x??0,2?时，?x???2,0?， 则 f(?x)?t(?x)??5??3?13x（t为211(?x)3??tx?x3， ∵函数221f(x)是定义在??2,2?上的奇函数，即f??x???f?x?，∴?f?x???tx?x3，即
211f(x)?tx?x3，又可知 f?0??0，∴函数f(x)的解析式为 f(x)?tx?x3 ，
22x???2,2?；
（2）f?x??x?t???112?x?，∵t?[2,6]，x???2,0?，∴t?x2?0，
22?3∵ ?f?x??211??22x?t?x2?t?x2??312??8t122?222???x?t?x??，∴x?t?x，
3272??2??????即 x2?6t262t6t???2,0?)时，fmin??tt 。 ,x??(?3339?6t?猜想f(x)在?0,2?上的单调递增区间为?0,?。
3??（
3
）
t?9时，任取
?2?x1?x2?2，∵
- 17 -
?122?f?x1??f?x2???x1?x2??t?x1?x1x2?x2??0， ∴f?x?在??2,2?上单调递增，即
?2???f?x???f??2?,f?2??，即f?x???4?2t,2t?4?，t?9，∴4?2t??14,2t?4?14，∴
∴当t?9时，函数y?f(x)的图象上至少有一个点落在直线y?14上。 14??4?2t,2t?4?，26.记函数f?x??域为B， （1）求A：
（2）若A?B，求a、b的取值范围 解：（1）A??x2?
2?x?7的定义域为A，g?x??lg??2x?b??ax?1???b?0,a?R?的定义x?2??x?7??x?3??0???x?0?????,?2???3,???， x?2??x?2?b1orx??，即 2a（2）?2x?b??ax?1??0，由A?B，得a?0，则x?b?10??3??a?1??b????2。 B????,????,???， ???2a??2????2??1?0?0?b?6??a?ax?1?a?0,a?1?。 27、设f?x??x1?a（1）求f?x?的反函数f（2）讨论f?1?1?x?：
?x?在?1.???上的单调性，并加以证明：
?1（3）令g?x??1?log1,????m?n?时，fax，当?m,n????x?在?m,n?上的值域是
?g?n?,g?m??，求a 的取值范围。
解：（1）f?1?x??logax?1?x?1或x??1? x?1（2）设1?x1?x2，∵∴0?a?1时，f?1x1?1x2?12?x1?x2????0 x1?1x2?1?x1?1??x2?1??x1??f?1?x2?，∴f?1?x?在?1.???上是减函数：a?1时，
f?1?x1??f?1?x2?，∴f?1?x?在?1.???上是增函数。
- 18 -
（3）当0?a?1时，∵f?1?x?在?1.???上是减函数，
x?1?1?logx?1a??f ∴???f?m??g?m?og，由l?1?n??g?n??1ax得
x?1?ax，即ax2??a?1?x?1?0， 可x?1????0?知方程的两个根均大于1，即?f?1??0?0?a?3?22，当a?1时，∵f?1?x?在?1.????1?a??1?2a??f上是增函数，∴???f?m??g?n??m?1?amn?an?a??1（舍去）。 综上，得 ???1n?1?amn?am?n??g?m???10?a?3?22。
28．解关于x的不等式loga[4?(x?4)a]?2loga(x?2)，其中a?(0,1).
?4?(x?4)a?0解：∵ loga[4?(x?4)a]?2loga(x?2) ∴ ? (0?a?1) ， x?2?0??4?(x?4)a?(x?2)2?4a?4?x?∴ ?a ∴不等式的解集为{x2?x?4}。 ???x?229．集合A是由具备下列性质的函数f(x)组成的：
(1) 函数f(x)的定义域是[0,??)； (2) 函数f(x)的值域是[?2,4)；
(3) 函数f(x)在[0,??)上是增函数．试分别探究下列两小题：
1（Ⅰ）判断函数f1(x)?x?2(x?0)，及f2(x)?4?6?()x(x?0)是否属于集合A？并简要
2说明理由．
（Ⅱ）对于（I）中你认为属于集合A的函数f(x)，不等式f(x)?f(x?2)?2f(x?1)，是
否对于任意的x?0总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论．
解：（1）函数f1(x)?x?2不属于集合A. 因为f1(x)的值域是[?2,??),所以函数
f1(x)?x?2不属于集合A.(或?当x?49?0时,f1(49)?5?4，不满足条件.)
- 19 -
1f2(x)?4?6?()x(x?0)在集合A中, 因为: ① 函数f2(x)的定义域是[0,??)；② 函
2数f2(x)的值域是[?2,4)；③ 函数f2(x)在[0,??)上是增函数． （2）f(x)?f(x?2)?2f(x?1)?6?()(?)?0，
12x14?不等式f(x)?f(x?2)?2f(x?1)对于任意的x?0总成立
30.已知二次函数f(x)?ax2?x（a?R，a?0）． （Ⅰ）当０＜a＜
1时，f(sinx)（x?Ｒ）的最大值为5，求f(x)的最小值． 24（Ⅱ）如果x?[0，1]时，总有|f(x)|?1．试求a的取值范围．
（Ⅲ）令a?1，当x?[n,n?1](n?N?)时，f(x)的所有整数值的个数为g(n)，求数列
g(n)}的前n 项的和Tn． 2n115??1故当sinx?1时f(x)取得最大值为， 解：⑴ 由0?a?知?22a4511212即f?1??a?1??a??f?x??x?x??x?2??1，所以f(x)的最小值为?1；
4444{22⑵ 由f?x??1得ax?x?1,?1?ax?x?1对于任意x??0,1?恒成立，
当x?0时，f?x??0使f?x??1成立；
2?11?11?1① ?a?2??????x?x2?4 x当x?0时，有? ?211111???a??② ???????2?xx24x???1?11?1对于任意的x??0,1?恒成立；?x??0,1???1，则?????0,故要使①式成立，
x4?x2?2?11?1则有a?0，又a?0?a?0；又???????2，则有a??2，综上所述：?2?a?0；
x24??2⑶ 当a?1时，f?x??ax?x，则此二次函数的对称轴为x??21，开口向上， 2故f?x?在?n,n?1?上为单调递增函数，且当x?n,n?1时，f?n?,f?n?1?均为整数， 故g?n??f?n?1??f?n??1??n?1???n?1??n2?n?1?2n?32?n?N?，
?则数列?g?n?2n?35792n?12n?3?g?n??T???????n ① ?的通项公式为，故nnn23n?1n?2222222?2?- 20 -