22226.设3元二次型f(x1,x2,x3)?x1?2x2?x3?2x1x2?2x2x3,求正交变换x=Py,将二次型化为
标准形.
四、证明题（本题6分）
27.已知A是n阶矩阵，且满足方程A2+2A=0,证明A的特征值只能是0或-2.
全国2009年10月高等教育自学考试
线性代数(经管类)试题 课程代码：04184
说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，
A表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩.
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 01?11?101?11．行列式第二行第一列元素的代数余子式A21=（ ）
1?101?11?10A．-2 C．1
B．-1 D．2
2．设A为2阶矩阵，若3A=3，则2A?（ ） A．C．
3．设n阶矩阵A、B、C满足ABC?E，则C?1?（ ） A．AB C．A?1B?1
?ab??14．已知2阶矩阵A???cd??的行列式A??1，则(A*)?（ ）
????a?b?A．???c?d??
????dC．??c?b?? ?a???d?b?B．???ca??
???ab?D．??cd??
??1 24 3B．1 D．2
B．BA D．B?1A?1
5．向量组?1,?2,?,?s(s?2)的秩不为零的充分必要条件是（ ） A．?1,?2,?,?s中没有线性相关的部分组 C．?1,?2,?,?s全是非零向量
B．?1,?2,?,?s中至少有一个非零向量 D．?1,?2,?,?s全是零向量
6．设A为m?n矩阵，则n元齐次线性方程组Ax?0有非零解的充分必要条件是（ ） A．r(A)?n B．r(A)?m C．r(A)?n D．r(A)?m
7．已知3阶矩阵A的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（ A．A B．E?A C．?E?A D．2E?A
8．下列矩阵中不是．．初等矩阵的为（ ） ?100??A．??010??
B．?100???010??
?101?????101????100C．?100??020?D．????
?110???
?001???101??
9．4元二次型f(x1,x2,x3,x4)?2x1x2?2x1x4?2x2x3?2x3x4的秩为（ A．1
B．2 C．3 D．4
?001?10．设矩阵A???010??，则二次型xTAx的规范形为（ ）
??100??A．z2?z2212?z3 B．?z2z221?2?z3 C．z2221?z2?z3 D．z2221?z2?z3
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
） ） 11．已知行列式
a1?b1a2?b2a1?b1a??4，则1a2?b2a2b1b2?______.
12．已知矩阵A?(1,2,?1),B?(2,?1,1)，且C?ATB，则C2=______.
?100??1???1?13．设矩阵A??220?，则?A??______.
?2??333???
?10??1?1???,B?14．已知矩阵方程XA?B，其中A???21??10??，则X?______. ????
15．已知向量组?1?(1,2,3)T,?2?(2,2,2)T,?3?(3,2,a)T线性相关，则数a?______.
16．设向量组?1?(1,0,0)T,?2?(0,1,0)T，且?1??1??2,?2??2，则向量组?1,?2的秩为
______.
21??1?1??01?，若该方程组无解，则a 17．已知3元非齐次线性方程组的增广矩阵为?0a?1?00a?10???的取值为______.
18．已知3阶矩阵A的特征值分别为1，2，3，则|E+A|=______.
19．已知向量α?(3,k,2)T与β?(1,1,k)T正交，则数k?______.
22220．已知3元二次型f(x1,x2,x3)?(1?a)x1正定，则数a的最大取值范围是?x2?(a?3)x3______.
三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分) x?1?11?11x?11?121．计算行列式D?的值.
1?1x?1?11?11x?1
?21?22．设矩阵A????12??，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA?B?E，求|B|.
??
?x1?x2?a1?23．已知线性方程组?x2?x3?a2
?x?x?a13?3(1)讨论常数a1,a2,a3满足什么条件时，方程组有解．
(2)当方程组有无穷多解时，求出其通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表
示)．
24．设向量组?1?(1,4,1,0)T,?2?(2,1,?1,?3)T,?3?(1,0,?3,?1)T,?4?(0,2,?6,3)T，
求该向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示．
?12??50?TT??,B?25．设矩阵A???43??2?1??，存在?1?(1,2),?2?(?1,1)，使得A?1?5?1, ????A?2???2；存在?1?(3,1)T,?2?(0,1)T,使得B?1?5?1,B?2???2.试求可逆矩阵P，
使得P?1AP?B.
26．已知二次型f(x1,x2,x3)?2x1x2?2x1x3?2x2x3，求一正交变换x?Py，将此二次型化
为标准形．
四、证明题(本题6分)
27．设向量组?1,?2,?3线性无关，且??k1?1?k2?2?k3?3．证明：若k1≠0，则向量组
?,?2,?3也线性无关．