第二章 单自由度系统的振动理论
2-2单自由度系统振动
1 求图示系统的固有频率。 其中（a）（b）图中，不计杆的质量m和抗弯刚度EI；（c）（d）图中，简支梁的抗弯刚度为EI，质量不计。受力情况如图所示。
LAmKA1A2A3m1A4K2m2K1(a)LEIL/2mKEIL/2(b)mKL(c)图2-1
(d)
k1A22?k2A32Lk答案：（a）?n?； (b)?n?； 22m1A1?m2A4Am （c）?n?48EI?k3l48EIkm；(d)
?n?
(48EIkl3l3
?k)m
2求图示系统固有频率。
（a）图为一单摆，摆球质量m，摆长L。
（b）图中两个弹簧在距单摆固定端a处连接。 （c）图为一倒立摆，两弹簧在距底端a处连接。
maLk/2Lm(a)(b)k/2amLk/2k/2(c) 图2-2
gka2?mglka2?mgl答案：(a)?n?；(b)?n?；(c) ?n? 22lmlml3求图示系统固有频率。
（a） 图中，水平方向的两杆视为弹性系数为k1，k2的弹簧，四个弹簧的连接关系为：
k1与k2串联后与k3并联，再与k4串联。
（b） 图中，滑轮和绳子的质量以及绳子的弹性略去不计。
k1k1k2k3k4mmxxk2(a)(b)
图2-3
?k1k2?k3????k4k1?k2k1k2??答案：(a) ?n?；(b)?n? 4m(k1?k2)(k1k2?k2?k3?k4)?mk1
4 图2-4所示，竖直杆的顶端带有质量m?1kg时，测得振动频率为1.5Hz。当带有质量m?2kg时，测得振动频率为0.75Hz。略去杆的质量，试求出使该系统成为不稳定平衡状态时顶端质量ms为多少？
mkιaO 图2-4
答案：ms?3kg
5 如图2-5所示，具有与竖直线成一微小角?的旋转轴的重摆，假设球的重量集中于其质心C处，略去轴承中的摩擦阻力，试确定仅考虑球的重量W时，重摆微小振动的频率。
BlβCA图2-5 答案：?n?W gsin?/l 6 两个滑块在光滑的机体槽内滑动（见图2-18），机体在水平面内绕固定轴O以角速度?转动。每个滑块质量为m，各用弹簧常数为k的弹簧支承。试确定其固有频率。
ωkmkm 图2-18 答案：?n?k??2 m
7 确定图2-6所示系统的固有频率。圆盘质量为m。
karO图2-6 kx 4k?r?a?答案：?n? 3mr228 确定图2-7系统的固有频率，滑轮质量为M。绳子的质量和弹性不计。 kMrOxm 图2-7 答案：?n?k 4m?3M
9 质量为m半径为r的圆盘在半径为R的轨道上做纯滚动，确定图2-8系统的固有频率。
Rmr 图2-8 答案：?n?2g
3?R?r?
10用三根长度为l的细线将一质量m半径r的刚性圆盘吊在天花板上，吊点三等分圆周 （1）求圆盘绕其垂直中心线作回转运动的固有频率 （2）求圆盘只作水平横向振动（不旋转）的固有频率
Lr
图2-9
答案：（1）
2g（2）?n?lg l
11横截面为A质量为m的圆柱型浮子静止在比重为γ的液体中。设从平衡位置压低x，然后无初速度释放，如不计阻尼，求浮子振动响应
xx
图2-10
答案：x(t)?xcos(?nt);?n??gAm
图2-15
12 各弹簧已预紧（受拉），求图示系统的固有频率。
k3m1Rrk1k4m2k2
图2-11
答案：