应用动能定理 用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为WF，则有：WF－mgl(1－cos θ)＝0，得WF＝mgl(1－cos θ) 质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克微元法 平均 力法 图象法 服摩擦力做功Wf＝f·Δx1＋f·Δx2＋f·Δx3＋?＝f(Δx1＋Δx2＋Δx3＋?)＝f·2πR 弹簧由伸长x1被继续拉至伸长x2的过程中，克服弹kx1＋kx2力做功W＝2·(x2－x1) 一水平拉力F0拉着一物体在水平面上运动的位移为x0，图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝F0x0 【思维训练1】 (2015·海南单科)如图6，一半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高，质量为m的质点自轨道端点P由静止开始滑下，滑到最低点Q时，对轨道的正压力为2mg，重力加速度大小为g。质点自P滑到Q的过程中，克服摩擦力所做的功为( )
图6
1
A.4mgR
1
B.3mgR 1
C.2mgR
π
D.4mgR
解析 在Q点质点受到竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两力的合力充当向v2
心力，所以有FN－mg＝mR，FN＝2mg，联立解得v＝gR，下滑过程中，根据
111
动能定理可得mgR－Wf＝2mv2，解得Wf＝2mgR，所以克服摩擦力做功2mgR，C正确。 答案 C
【思维训练2】 一物体所受的力F随位移x变化的图象如图7所示，求在这一过程中，力F对物体做的功为( )
图7
A．3 J
B．6 J
C．7 J
D．8 J
解析 力F对物体做的功等于x轴上方梯形“面积”所表示的正功与x轴下方三角形“面积”所表示的负功的代数和。 1
W1＝×(3＋4)×2 J＝7 J
21
W2＝－2×(5－4)×2 J＝－1 J
所以力F对物体做的功为W＝7 J－1 J＝6 J。 故选项B正确。 答案 B
1．(2015·海南单科，3)假设摩托艇受到的阻力的大小正比于它的速率。如果摩托艇发动机的输出功率变为原来的2倍，则摩托艇的最大速率变为原来的( ) A．4倍
B．2倍
C.3倍
D.2倍
解析 设f＝kv，当阻力等于牵引力时，速度最大。输出功率变化前，有P＝Fv＝fv＝kv·v＝kv2，变化后有2P＝F′v′＝kv′·v′＝kv′2，联立解得v′＝2v，D正确。 答案 D
2．(2015·全国卷Ⅱ，17)一汽车在平直公路上行驶。从某时刻开始计时，发动机的功率P随时间t的变化如图8所示。假定汽车所受阻力的大小f恒定不变。下列描述该汽车的速度v随时间t变化的图线中，可能正确的是( )
图8
解析 当汽车的功率为P1时，汽车在运动过程中满足P1＝F1v，因为P1不变，v逐渐增大，所以牵引力F1逐渐减小，由牛顿第二定律得F1－f＝ma1，f不变，所P1P1以汽车做加速度减小的加速运动，当F1＝f时速度最大，且vm＝F＝f。当汽车
1
的功率突变为P2时，汽车的牵引力突增为F2，汽车继续加速，由P2＝F2v可知F2减小，又因F2－f＝ma2，所以加速度逐渐减小，直到F2＝f时，速度最大vm′P2＝f，以后匀速运动。综合以上分析可知选项A正确。 答案 A
3．(2016·天津理综，8)(多选)我国高铁技术处于世界领先水平，和谐号动车组是由动车和拖车编组而成，提供动力的车厢叫动车，不提供动力的车厢叫拖车。假设动车组各车厢质量均相等，动车的额定功率都相同，动车组在水平直轨道上运行过程中阻力与车重成正比，某列动车组由8节车厢组成，其中第1、5节车厢为动车，其余为拖车，则该动车组( )
图9
A．启动时乘客受到车厢作用力的方向与车运动的方向相反
B．做匀加速运动时，第5、6节与第6、7节车厢间的作用力之比为3∶2 C．进站时从关闭发动机到停下来滑行的距离与关闭发动机时的速度成正比 D．与改为4节动车带4节拖车的动车组最大速度之比为1∶2
解析 列车启动时，乘客随车厢加速运动，加速度方向与车的运动方向相同，故乘客受到车厢的作用力方向与车运动方向相同，选项A错误；对6、7、8节车厢的整体有F56＝3ma＋3kmg，对7、8节车厢的整体有F67＝2ma＋2kmg，故5、6节车厢与6、7节车厢间的作用力之比为F56∶F67＝3∶2，选项B正确；关闭发动v212机后，根据动能定理得2·8mv＝8kmgx，解得x＝2kg，可见滑行的距离与关闭发动机时速度的平方成正比，选项C错误；8节车厢有2节动车时的最大速度为vm1
vm112P4P
＝8kmg；8节车厢有4节动车时最大速度为vm2＝8kmg，则v＝2，选项D正确。
m2
答案 BD
4．(2017·湖南衡阳联考，24)一地铁列车从甲站由静止启动后做直线运动，先匀加速运动t1＝10 s达到速度大小v＝54 km/h，再匀速运动t2＝100 s，接着匀减速运动t3＝12 s到达乙站停车。列车在运行过程中所受的阻力大小恒为f＝1×105 N，列车在减速过程中发动机停止工作，求： (1)列车匀速运动过程中克服阻力所做的功W； (2)列车的质量m；
－
(3)列车在匀加速阶段牵引力的平均功率P。 解析 (1)已知v＝54 km/h＝15 m/s 列车在匀速阶段的位移为：x＝vt2＝1 500 m 列车匀速运动过程中克服阻力所做的功为： W＝fx＝1.5×108 J
(2)设列车匀减速阶段的加速度大小为a′，由牛顿第二定律有：f＝ma′ v又：a′＝t
3
解得m＝8×104 kg
(3)设列车在匀加速阶段的加速度大小为a，由牛顿第二定律有：F－f＝ma v
又：a＝t
1
v
该阶段牵引力的平均功率为P＝F2
－
解得：P＝1.65×106 W。
答案 (1)1.5×108 J (2)8×104 kg (3)1.65×106 W
一、选择题(1～6题为单项选择题，7～11题为多项选择题)
1．如图1所示，甲、乙两物体之间存在相互作用的滑动摩擦力，甲对乙的滑动摩擦力对乙做了负功，则乙对甲的滑动摩擦力对甲( )
－
图1
A．可能做正功，也可能做负功，也可能不做功 B．可能做正功，也可能做负功，但不可能不做功 C．可能做正功，也可能不做功，但不可能做负功 D．可能做负功，也可能不做功，但不可能做正功
解析 若甲固定不动，乙在甲表面滑动，则乙对甲的滑动摩擦力对甲不做功；若乙向右运动的同时甲向左运动，则甲、乙间的一对滑动摩擦力均做负功；若水平地面光滑，静止的甲在乙的滑动摩擦力带动下做加速运动，则乙对甲的滑动摩擦力对甲做正功，所以只有选项A正确。 答案 A
2．同一恒力按同样的方式施于物体上，使它分别沿着粗糙水平地面和光滑水平地面移动相同一段距离时，恒力做的功和平均功率分别为W1、P1和W2、P2，则二者的关系是( ) A．W1＞W2、P1＞P2 C．W1＝W2、P1＞P2
B．W1＝W2、P1＜P2 D．W1＜W2、P1＜P2
解析 由功的定义W＝Flcos α可知，W1＝W2，由于沿粗糙地面运动时加速度较W
小，通过相同位移所用时间较长，所以根据P＝t可知，P1＜P2，故B正确。 答案 B
3．(2017·安徽期中测试)A、B两物体的质量之比mA∶mB＝2∶1，它们以相同的初速度v0在水平面上做匀减速直线运动，直到停止，其速度—时间图象如图2所示。那么，A、B两物体所受摩擦力之比FA∶FB与A、B两物体克服摩擦阻力做功之比WA∶WB分别为( )
图2
A．2∶1，4∶1 B．4∶1，2∶1
C．1∶4，1∶2 D．1∶2，1∶4
解析 由v－t图象可知：aA∶aB＝2∶1，又由F＝ma，mA∶mB＝2∶1，可得FA∶FB＝4∶1；又由题图中面积关系可知A、B位移之比xA∶xB＝1∶2，由做功公式W