P出
(2)当车速v′＝3 m/s时，牵引力F′＝v′，由牛顿第二定律知F′－k(M＋m)g＝(m＋M)a，解得a＝0.2 m/s2。 答案 (1)0.03 (2)0.2 m/s2
基础课2 动能 动能定理
知识点一、动能
1．定义：物体由于运动而具有的能叫动能。 12．公式：Ek＝2mv2。
3．单位：焦耳，1 J＝1 N·m＝1 kg·m2/s2。 4．矢标性：动能是标量，只有正值。
5．状态量：动能是状态量，因为v是瞬时速度。 知识点二、动能定理
1．内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。 1122．表达式：W＝2mv2－22mv1或W＝Ek2－Ek1。 3．物理意义：合外力的功是物体动能变化的量度。 [思考判断]
(1)一定质量的物体动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化。( )
(2)动能不变的物体一定处于平衡状态。( )
(3)如果物体所受的合外力为零，那么合外力对物体做功一定为零。( ) (4)物体在合外力作用下做变速运动时，动能一定变化。( ) (5)根据动能定理，合外力做的功就是动能的变化。( ) (6)重力做功和摩擦力做功都与物体运动的路径无关。( ) 答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)× (6)×
动能和动能定理的理解
1．动能与动能的变化的区别
(1)动能与动能的变化是两个不同的概念，动能是状态量，动能的变化是过程量。 (2)动能为非负值，而动能变化量有正负之分。ΔEk＞0表示物体的动能增加，ΔEk＜0表示物体的动能减少。 2．对动能定理的理解
(1)做功的过程就是能量转化的过程，动能定理表达式中的“＝”的意义是一种因果关系在数值上相等的符号。
(2)对“外力”的理解
动能定理叙述中所说的“外力”，既可以是重力、弹力、摩擦力，也可以是电场力、磁场力或其他力。
1．[对动能概念的理解]关于物体的动能，下列说法中正确的是( ) A．物体速度变化，其动能一定变化
B．物体所受的合外力不为零，其动能一定变化 C．物体的动能变化，其运动状态一定发生改变 D．物体的速度变化越大，其动能一定变化也越大
解析 若速度的方向变化而大小不变，则其动能不变化，故选项A错误；物体所受合外力不为零，只要速度大小不变，其动能就不变化，如匀速圆周运动中，物体所受合外力不为零，但速度大小始终不变，动能不变，故选项B错误；物体动能变化，其速度一定发生变化，故运动状态改变，选项C正确；物体速度变化若仅由方向变化引起，其动能可能不变，如匀速圆周运动中，速度变化，但动能始终不变，故选项D错误。 答案 C
2．[对动能定理的理解] (多选)如图1所示，电梯质量为M，在它的水平地板上放置一质量为m的物体。电梯在钢索的拉力作用下竖直向上加速运动，当电梯的速度由v1增加到v2时，上升高度为H，则在这个过程中，下列说法或表达式正确的
是( )
图1
1
A．对物体，动能定理的表达式为WN＝2mv22，其中WN为支持力的功 B．对物体，动能定理的表达式为W合＝0，其中W合为合力的功
112C．对物体，动能定理的表达式为WN－mgH＝2mv2－2
2mv1，其中WN为支持力的功
112
D．对电梯，其所受合力做功为2Mv2－2
2Mv1
解析 电梯上升的过程中，对物体做功的有重力mg、支持力FN，这两个力的总112
功才等于物体动能的增量ΔEk＝2mv2－2
2mv1，故A、B均错误，C正确；对电梯，无论有几个力对它做功，由动能定理可知，其合力的功一定等于其动能的增量，故D正确。 答案 CD
动能定理的应用
应用动能定理解题应抓好“两状态，一过程”
“两状态”即明确研究对象的始、末状态的速度或动能情况；“一过程”即明确研究过程，确定这一过程研究对象的受力情况和位置变化或位移信息。
【典例】 (2016·河南郑州三模)如图2所示，倾角θ＝45°的粗糙平直导轨AB与半径为R的光滑圆环轨道相切，切点为B，整个轨道处在竖直平面内。一质量为m的小滑块(可以看作质点)从导轨上离地面高为h＝3R的D处无初速度下滑进入圆环轨道。接着小滑块从圆环最高点C水平飞出，恰好击中导轨上与圆心O等高的P点，不计空气阻力，已知重力加速度为g。求：
图2
(1)滑块运动到圆环最高点C时的速度大小； (2)滑块运动到圆环最低点时对圆环轨道压力的大小； (3)滑块在斜面轨道BD间运动的过程中克服摩擦力做的功。 解析 (1)小滑块从C点飞出来做平抛运动，水平速度为v0。 1
竖直方向上：R＝2gt2① 水平方向上：2R＝v0t② 解得：v0＝gR③
(2)小滑块在最低点时速度为v，由动能定理得： 112
－mg·2R＝2mv2－0
2mv ④
解得：v＝5gR⑤
在最低点由牛顿第二定律得： v2
FN－mg＝mR⑥ 解得：FN＝6mg
由牛顿第三定律得：FN′＝6mg⑦
(3)从D到最低点过程中，设DB过程中克服摩擦阻力做功Wf，由动能定理得： 1
mgh－Wf＝2mv2－0⑧ 1
解得：Wf＝2mgR⑨
1
答案 (1)gR (2)6mg (3)2mgR 【拓展延伸1】 使小滑块刚好能过C点
在【典例】中，若小滑块刚好能过C点，求滑块与轨道AB间的动摩擦因数。 v2C
解析 小滑块刚好能过C点，则在C点由牛顿第二定律得：mg＝mR 解得：vC＝gR
小滑块由D至C过程，由动能定理得：
h－（R－Rcos θ）12
mg(h－2R)－μmgcos θ·＝2mvC－0，
sin θ4－2
解得：μ＝14 答案
4－214
【拓展延伸2】 使滑块在P点释放
在【典例】中的滑块从轨道的P点由静止释放，滑块与粗糙导轨间的动摩擦因数为μ，求滑块整个运动过程中在AB轨道上通过的总路程。
解析 滑块在P点释放，滑块将在两轨道间做往返运动，当滑块到达B点时的速度为零后滑块将只在圆弧轨道上运动，故全过程由动能定理得： mgsPBsin θ－μmgscos θ＝0 由几何关系得：sPB＝R R
解得：s＝μ R答案 μ 技巧点拨
应用动能定理解题的基本思路
1．[动能定理的应用] (2016·河南模拟)如图3所示，质量为m的小球，从离地面H高处从静止开始释放，落到地面后继续陷入泥中h深度而停止，设小球受到空气阻力为f，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
图3
A．小球落地时动能等于mgH
B．小球陷入泥中的过程中克服泥的阻力所做的功小于刚落到地面时的动能