一个交点，?F1AF2=60°.
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）已知△AF1B的面积为403，求a, b 的值.
【解析】（I）?F1AF2?60??a?2c?e? （Ⅱ）设BF2?m；则BF1?2a?m 在?BF1F2中，BF12ca?12
?BF22?F1F22?2BF2?F1F2?cos120
3? ?(2a?m2)?m2?a2?am?m? a5 ?AFB面积1S?12?F2F1?AB?sin60??12?a?(a?35a)?32?403
?a?10,c?5,b?5323.【2012高考广东文20】（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：
F1(?1,0)，且点P(0,1)在C1上.
xa22?yb22?1（a?b?0）的左焦点为
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2?4x相切，求直线l的方程. 【答案】
【解析】（1）因为椭圆C1的左焦点为F1(?1,0)，所以c?1，
xa22点P(0,1)代入椭圆?yb22?1，得
1b2?1，即b?1，
所以a?b?c?2，
x2222所以椭圆C1的方程为
2?y?1.
2（2）直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为y?kx?m，
?x22?y?1?222，消去y并整理得(1?2k)x?4kmx?2m?2?0， ?2?y?kx?m?
因为直线l与椭圆C1相切，所以??16k2m2?4(1?2k2)(2m2?2)?0， 整理得2k2?m2?1?0 ①
?y2?4x，消去y并整理得k2x2?(2km?4)x?m2?0。 ??y?kx?m因为直线l与抛物线C2相切，所以??(2km?4)2?4k2m2?0， 整理得km?1 ②
??22?k??k??综合①②，解得?2。 2或????m??2?m?2所以直线l的方程为y?22x?2或y??22x?2。
24.【2102高考北京文19】(本小题共14分)
已知椭圆C：2+2=1（a＞b＞0）的一个顶点为A （2,0），离心率为， 直线y=k(x-1)
2ba与椭圆C交与不同的两点M,N （Ⅰ）求椭圆C的方程 （Ⅱ）当△AMN的面积为
103x2y22时，求k的值
【考点定位】此题难度集中在运算，但是整体题目难度确实不大，从形式到条件的设计都是
非常熟悉的，相信平时对曲线的练习程度不错的学生做起来应该是比较容易的。
a?2??2?c解：（1）由题意得?解得b??a2?222?a?b?c?222.所以椭圆C的方程为
x4?y2?1.
?y?k(x?1)?2222（2）由?x2y2得(1?2k)x?4kx?2k?4?0.
??1??42设点M,N的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，则y1?k(x1?1)，y2?k(x2?1)，x1?x2?4k221?2k，x1x2?22k?41?2k22.
22所以|MN|=(x2?x1)?(y2?y1)=(1?k)[(x1?x2)?4x1x2]=由因为点A(2,0)到直线y?k(x?1）的距离d?|k|1?2k
222(1?k)(4?6k)1?2k222.
，
所以△AMN的面积为S?k??1.
12|MN|?d?|k|4?6k221?2k. 由
|k|4?6k221?2k?103，解得
25.【2012高考山东文21】 (本小题满分13分)
如图，椭圆M:xa22?yb22?1(a?b?0)的离心率为32，直线x??a和y??b所围成的矩
形ABCD的面积为8.
(Ⅰ)求椭圆M的标准方程；
(Ⅱ) 设直线l:y?x?m(m?R)与椭圆M有两个不同的交点P,Q,l与矩形ABCD有两个
不同的交点S,T.求
ca32|PQ||ST|2的最大值及取得最大值时m的值.
2【答案】(21)(I)e???a?ba2?34??①
矩形ABCD面积为8，即2a?2b?8??② 由①②解得：a?2,b?1， ∴椭圆M的标准方程是
x24?y?1.
2?x2?4y2?4,22(II)??5x?8mx?4m?4?0，
?y?x?m,设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则x1?x2??m,x1x2?584m?452，
由??64m2?20(4m2?4)?0得?5?m?5.
|PQ|?4m?442?8?2??m??4?55?5?225?m2.
当l过A点时，m?1，当l过C点时，m??1. ①当?5?m??1时，有S(?m?1,?1),T(2,2?m),|ST|?|PQ||ST|?455?m222(3?m)，
(3?m)?45?4t2?6t?1，
其中t?m?3，由此知当?t134，即t?43,m??53?(?5,?1)时，
|PQ||ST|取得最大值255.
②由对称性，可知若1?m?5，则当m?③当?1?m?1时，|ST|?22，由此知，当m?0时，
53|PQ||ST||PQ||ST|2553时，
2|PQ||ST|取得最大值255.
?5?m，
取得最大值|PQ||ST|255.
25综上可知，当m??和0时，取得最大值5.
26.【2102高考福建文21】（本小题满分12分）
如图，等边三角形OAB的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p＞0）上。
（1） 求抛物线E的方程；
（2） 设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相较于点Q。证明以PQ为直径的
圆恒过y轴上某定点。
考点：圆锥曲线的定义，直线和圆锥曲线的位置关系，定值的证明。 难度：难。
分析：本题考查的知识点为抛物线方程的求解，直线和圆锥曲线的联立，定值的表示及计算。
解答：
22（I）设A(x1,y1),B(x2,y2)；则x1?2py1,x2?2py2
OA?OB?x1?y1?x2?y2?2py?1y?12py?2y?(y1?y2)(2p?y1?y)2?0?y?y(?2p,y,y1?0)122222222
2 得：点A,B关于y轴对称（lfxlby）
OA?OB?AB?83?A(?43,12),B(43,12)
x2 代入抛物线E的方程得：p?
2y?2?抛物线E的方程为x?4y
2
（II）设P(x0,x042)；则y?14x?y??1412212x
1214 过点P的切线方程为y?x0?42x02x0?2x0(x?x0)即y?x0x?x0
2 令y??1?Q(,?1)
2??????????????????x0?4 设M(0,t)满足：MP?MQ?0及MP?(x0,y0?t),MQ?(,?1?t)
2x02 得：4(t2?t?2)?(1?t)x0?0对x0?0均成立
?t2?t?2?0,1?t?0?t?1 以PQ为直径的圆恒过y轴上定点M(0,1)
27.【2012高考上海文22】（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分
在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:2x2?y2?1
（1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若MF?22，求点M的坐标； （2）过C的左焦点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积； （3）设斜率为k（k?证：OP⊥OQ [解]（1）双曲线C:x22）的直线l交C于P、Q两点，若l与圆x?y?1相切，求
2212?y?1，左焦点F(?2622262,0).
222 设M(x,y)，则|MF|?(x? 由M是右支上一点，知x? 所以M(6222)?y?(3x?)， ……2分
222，所以|MF|?3x??22，得x?62.
,?222). ……5分 ,0)，渐近线方程：y??2x.
2x平行的直线方程为：y? （2）左顶点A(? 过A与渐近线y?2(x?22)，即y?2x?1.