解法2：如图2、3，?x1?(0,1)，设P(x1,y1)，H(x2,y2)，则Q(?x1,?y1)，
N(0,y1)，
2222??mx1?y1?m,因为P，H两点在椭圆C上，所以?2222??mx2?y2?m, 两式相减可得
m(x1?x2)?(y1?y2)?0. ③
22222依题意，由点P在第一象限可知，点H也在第一象限，且P，H不重合， 故(x1?x2)(x1?x2)?0. 于是由③式可得
(y1?y2)(y1?y2)(x1?x2)(x1?x2)??m2. ④
2y1x1?y1?y2x1?x2又Q，N，H三点共线，所以kQN?kQH，即于是由④式可得kPQ?kPH?y1x1?y1?y2x1?x2.
21(y?y2)(y1?y2)m??1??2(x1?x2)(x1?x2)2.
2而PQ?PH等价于kPQ?kPH??1，即?m222??1，又m?0，得m?y2，
故存在m?2，使得在其对应的椭圆x?2?1上，对任意的k?0，都有
PQ?PH.
【解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系；考查分类讨论的数学思想
以及运算求解的能力.本题是一个椭圆模型，求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论，不要漏解；对于探讨性问题一直是高考考查的热点，一般先假设结论成立，再逆推所需要求解的条件，对运算求解能力和逻辑推理能力有较高的要求.
32.【2012高考全国文22】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
2已知抛物线C:y?(x?1)与圆M:(x?1)?(y?212)?r(r?0)有一个公共点A，
22且在点A处两曲线的切线为同一直线l.
（Ⅰ）求r；
（Ⅱ）设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离。
【命题意图】本试题考查了抛物线与圆的方程，以及两个曲线的公共点处的切线的运用，并
在此基础上求解点到直线的距离。
解：（1）设A(x0,(x0?1)2)，对y?x?(x?1)2求导得y??2(x?1)，故直线l的斜率
k?2(x0?1)，当x0?1时，不合题意，所心x0?1
12
圆心为M(1,)，MA的斜率k??21(x0?1)?x0?12由l?MA知kk???1，即2(x0?1)?(x0?1)?x0?1212??1，解得x?0，故A(0,1) 0所以r?|MA|?(1?0)?(212?1)?252 22（2）设(a,(a?1))为C上一点，则在该点处的切线方程为y?(a?1)?2(a?1)(x?a)即
y?2(a?1)x?a?1
2若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为
12252，即
|2(a?1)?1??a?1|22?52，化简可得a2(a2?4a?6)?0
[2(a?1)]?(?1)求解可得a0?0,a1?2?10,a2?2?10 2抛物线C在点(ai,(ai?1))(i?0,1,2)处的切线分别为l,m,n，其方程分别为
y?2x?1① y?2(a1?1)x?a1?1② y?2(a2?1)x?a2?1③
22②－③得x?a1?a22?2，将x?2代入②得y??1，故D(2,?1)
所以D到直线l的距离为d?|2?2?(?1)?1|2?(?1)22?655。
【点评】该试题出题的角度不同于平常，因为涉及的是两个二次曲线的交点问题，并且要研究两曲线在公共点出的切线，把解析几何和导数的工具性结合起来，是该试题的创新处。另外对于在第二问中更是难度加大了，出现了另外的两条公共的切线，这样的问题对于我们以后的学习也是一个需要练习的方向。
33.【2012高考辽宁文20】(本小题满分12分)
如图，动圆C1:x2?y2?t2,1 x与椭圆C2：?y2?1相交于A，B，C，D四点，点A1,A292分别为C2的左，右顶点。 (Ⅰ)当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并 求出其最大面积； (Ⅱ)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程。 【命题意图】本题主要考查直线、圆、椭圆的方程，椭圆的几何性质，轨迹方程的求法，考查函数方程思想、转化思想、数形结合思想、运算求解能力和推理论证能力，难度较大。 【解析】(Ⅰ)设A(x0，y0)，则矩形ABCD的面积S=4|x0|y0|， x0922020由?y?1得，y?1?x092， ∴xy=x(1?当x0?2202020x092)=?1219(x0?292)?294， 92，y0?2时，Smax=6， ∴t=5时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为6. ??6分 (Ⅱ) 设A?x1,y1?,B?x1,-y1?，又知A1?-3,0?,A2?3,0?，则 直线A1A的方程为 y=直线A2B的方程为 由①②得 y=2y1x1+3-y1x1-3?x+3? ① y=-y1222?x-3? ② -322x1-3?x2? ③ 2?x12?由点A?x1,y1?在椭圆C0上，故可得2+y1=1，从而有y1=?1-2?，代入③得 3?3?x1x29-y=1?x<-3,y<0? 2∴直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程为 x29-y=1?x<-3,y<0? ??12分 2【解析】本题主要考查直线、圆、椭圆的方程，椭圆的几何性质，轨迹方程的求法，考查函 数方程思想、转化思想、数形结合思想、运算求解能力和推理论证能力，难度较大。 34.【2012高考江西文20】（本小题满分13分） 已知三点O（0,0），A（-2,1），B（2,1），曲线C上任意一点M（x,y）满足 （1）求曲线C的方程； （2）点Q（x0,y0）(-2 ????????????????????? 【解析】（1）MA?(?2?x,1?y)，MB?(2?x,1?y)，OM?(x,y),OA?OB?(0,2) 代入式子可得4x2?4(1?y)2?2y?2整理得x2?4y （2）设Q(x0,x042)；则S?QAB?2(1?2x042)，kl?y?x?x0?x02 得：l:y?x04?x02(x?x0)交y轴于点M(0,?x042)?PM?1?x042 lPA:x?y?1?0,lP 可求xD?x0?22B:x?y?1?与0l:y?x0?22x042?x02(x?x0)联立： ,xE??xD?xE?2 ?S?PDE?12?xD?xE?PM?1?x024 ?SQAB:S?PDE?2 35.【2012高考四川文21】(本小题满分12分) 如图，动点M与两定点A(?1,0)、B(1,0)构成?MAB，且直线MA、MB的斜率之积 yMA为4，设动点M的轨迹为C。（Ⅰ）求轨迹C的方程； OBx （Ⅱ）设直线y?x?m(m?0)与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且 |PQ|?|PR，求||PR||PQ|的取值范围。 [解析]（1）设M的坐标为（x,y），当x=-1时，直线MA的斜率不存在；当x=1时，直线 MB的斜率不存在。 于是x≠1且x≠-1.此时，MA的斜率为由题意，有 yyX?1，MB的斜率为 yx?1. X?1x?1·y=4 化简可得，4x2-y2-4=0 故动点M的轨迹C的方程为4x-y-4=0（x≠1且x≠-1）…………………………4分 ?y?x?m22 18.由?2消去y，可得3x-2mx-m-4=0. (﹡) 2?4x?y?4?02 2 对于方程(﹡)，其判别式 ?=（-2m)2－4×3（-m2-4）=16m2+48>0 而当1或-1为方程（*）的根时，m的值为-1或1. 结合题设（m>0）可知，m>0，且m≠1 设Q、R的坐标分别为（XQ,YQ）,(XR,YR),则为方程（*）的两根. 因为PQ?PR,所以 XQ?X2R， XQ?m?2m32?3,XP?m?2m32?3 21?3所以 PRPQ?XXPR?21?m3m3?1?1?221?3。 22?1m?1此时1?3m2?1,且1?m2?2 所以1?1?21?23?3,且1?2221?3?253 mRP?1m?53?1所以1?PRPQ?XX?3,且PRPQ?XXRP 综上所述， PRPQ的取值范围是（551，）?（，3） …………………………12分 33[点评]本小题主要考察直线、双曲线、轨 迹方程的求法等基础知识，考察思维能力、运算能力，考察函数、分类与整合等思想，并考察思维的严谨性。 36.【2012高考重庆文21】本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分） 已知椭圆的中心为原点O，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为