线段OF1,OF2 的中点分别为B1,B2 ，且△AB1B2是面积为4的直角三角形。（Ⅰ）F1,F2 ，
求该椭圆的离心率和标准方程；（Ⅱ）过B1 作直线交椭圆于P,Q，PB2?QB2，求△PB2Q的面积
【答案】：（Ⅰ）
x220+
y24=1（Ⅱ）
16109
，OA?B1B2|
（*）
设P(x1,y1),Q(x2,y2), 则y1,y2 是上面方程的两根，因此yy1?y2??16m?521?y2?4mm?52,
又
?????????B1P?(x1?2,y1),B2P?(x2?2,y2)???x2)?(m?1)y1y22，所以
????B1?P2(B??y1y2???P21?) x(?(my1?4)(my2?4)?y1y2?4m(y1?y2)?16
??16(m?1)m?516m?64m?52222?16m22m?5?16
????????????由PB2?QB2 ，知B2P?B2Q?0 ，即16m2?64?0 ，解得
m??2
当m?2 时，方程（*）化为：9y2?8y?16?0
,y2?4?4109故y1??PB2Q4?4109 ，|y1?y2|?161098109
的面积S?12|B1B2||y1?y2|? 当m??2 时，同理可得（或 综上所述，?PB2Q 的面积为
由对称性可得）?PB2Q 的面积S16109?16109 。
37.【2012高考陕西文20】（本小题满分13分）
x2已知椭圆C1:4?y?1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率。
2（1）求椭圆C2的方程；
????????（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，OB?2OA，求直线AB的方程。
【解析】（Ⅰ）由已知可设椭圆C2的方程为
32ya22?x24?1?a?2?，
其离心率为，故y2a?4a?x22?32，则
a?4．
故椭圆C2的方程为164?1．
（Ⅱ）解法一：A，B两点的坐标分别为?xA，yA?，?xB，yB?，
???????? 由AB?2OA及（Ⅰ）知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，
因此可设直线AB的方程为y?kx．
x2 将y?kx代入
4y2?y2?1中，得?1?4k2?x2?4，所以xA?241?4k162，
将y?kx代入
16+x24?1中，得?4?k2?x2?16，所以xB?24?k2，
????????22 又由AB?2OA，得xB?4xA，即
164?k2?161?4k2．
解得k??1，故直线AB的方程为y?x或y??x． 解法二：A，B 两点的坐标分别为?xA,yA?,?xB,yB?，
由AB?2OA及（Ⅰ）知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上， 因此可设直线AB的方程为y?kx．
x2 将y?kx代入
4?y2?1中，得?1?4k2?x2?4，所以xA?241?4k2，
????????2 又由AB?2OA，得xB?y2161?4k2，y2B?16k221?4k，
将x,y代入
2B2B16?x24?14?k2中，得1?4k2?1，即4?k2?1?4k，
2 解得k??1，故直线AB的方程为y?x或y??x