2 解方程组??y??2x，得???x??4. ……8分
?y?2x?1??y?12 所求平行四边形的面积为S?|OA||y|?24. ……10分
（3）设直线PQ的方程是y?kx?b.因直线与已知圆相切，故
|b|k2?1?1，
即b2?k2?1 (*).
由?y?kx?b?x2?y?1，得(2?k2)x2?2kbx?b2?1?0. ?22 设P(xQ(x?1, y1)、2, y2)，则?x2kb?1?x2?2?k2??x1x2??1?b2. 2?k2 y1y2?(kx1?b)(kx2?b)，所以
OP?OQ?x21x2?y1y2?(1?k)x1x2?kb(x1?x2)?b2
(1?k2)(?1?b2)k2b21?b2?k22?k2?22?k2??2?k2.
由(*)知OP?OQ?0，所以OP⊥OQ. ……16分 【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系．特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为2，它的渐近线为y??x，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本
题属于中档题 ．
28．【2012高考新课标文20】（本小题满分12分）
设抛物线C：x2
=2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点.
（I）若∠BFD=90°,△ABD的面积为42，求p的值及圆F的方程；
（II）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值.
【命题意图】本题主要考查圆的方程、抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、点到直线距离公式、线线平行等基础知识，考查数形结合思想和运算求解能力.
【解析】设准线l于y轴的焦点为E，圆F的半径为r， 则|FE|=p，|FA|?|FB|=|FD|=r，E是BD的中点，
(Ⅰ) ∵?BFD?900，∴|FA|?|FB|=|FD|=2p，|BD|=2p， 设A(xp0，y0)，根据抛物线定义得，|FA|=2?y0，
∵?ABD的面积为42，∴S?ABD=
1|BD|(yp20?2)=12?2p?2p=42，解得p=2，
∴F(0,1), FA|=22， ∴圆F的方程为：x2?(y?1)2?8；
(Ⅱ) 【解析1】∵A，
B，F三点在同一条直线m上, ∴AB是圆F的直径，?ADB?900, 由抛物线定义知|AD|?|FA|?12|AB|，∴?ABD?300，∴m的斜率为
33或－
33，
∴直线m的方程为：y??设直线n的方程为：y??3333x?p2，∴原点到直线m的距离d1=234p，
2x?b，代入x?2py得，x?233x?2pb?0，
∵n与C只有一个公共点， ∴?=∴直线n的方程为：y??33x?43p?8pb?0，∴b??2p6，
312p，
p6，∴原点到直线n的距离d2=
∴坐标原点到m，n距离的比值为3. 【解析2】由对称性设A(x0,x022p)(x0?0)，则F(0,2p2)
点A,B关于点F对称得：B(?x0,p?3px02pp)?p?x022p??p2?x0?3p
22 得：A(3p,3p2)，直线m:y?22x?p?x?23p3333?3y?3p2?0
x?2py?y?2x22p?y??xp??x?p?切点P(3p3,p6)
直线n:y?p6?33(x?3p3)?x?3p63y?36p?0
坐标原点到m,n距离的比值为3p2:?3。
1229.【2012高考浙江文22】本题满分14分）如图，在直角坐标系xOy中，点P（1，抛物线C：y=2px（P＞0）的准线的距离为上的两动点，且线段AB被直线OM平分。
2）到
54。点M（t，1）是C上的定点，A，B是C
（1）求p,t的值。
（2）求△ABP面积的最大值。
【命题意图】本题主要考查了抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力. 【解析】
1?2pt?1?p???（1）由题意得?2. p5，得???1??t?1?24?（2）设A(x1,y1),B?x2,y2?，线段AB的中点坐标为Q(m,m) 由题意得，设直线AB的斜率为k（k?0）.
2??y1?2px1由?，得(y2?y1)(y1?y2)?k(x2?x1)，得k?2m?1
2??y2?2px2所以直线的方程为y?m?12m(x?m)，即x?2my?2m?m?0.
22??x?2my?2m?m?0由?，整理得y2?2my?2m2?m?0，
2??y?x所以??4m?4m2，y1?y2?2m，y1y2?2m2?m.从而得
1k222AB?1?y1?y2?1?4m4m?4m，
设点P到直线AB的距离为d，则 d?1?2m?2m1?4m22，设?ABP的面积为S，则S?12AB?d?1?2(m?m)?2m?m. 22由??4m?4m?0，得0?m?1.
令t?m?m，0?t?21212，则S?t(1?2t). ，则S??1?6t.
222设S?t(1?2t)，0?t?2由S??1?6t?0，得t?66?1???0,?，所以Smax?，故?ABP的面积的最大值为. 699?2?630.【2012高考湖南文21】（本小题满分13分） 在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为x+y-4x+2=0的圆心.
12的椭圆E的一个焦点为圆C：
22
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为相切时，求P的坐标.
【答案】
12的直线l1，l2.当直线l1，l2都与圆C
【解析】（Ⅰ）由x2?y2?4x?2?0，得(x?2)2?y2?2.故圆Ｃ的圆心为点
xa222(2,0),从而可设椭圆Ｅ的方程为
ca2?yb222?1(a?b?0),其焦距为2c，由题设知
2c?2,e??12,?a?2c?4,b?a?c?12.故椭圆Ｅ的方程为：
x216?y12?1.
（Ⅱ）设点p的坐标为(x0,y0)，l1,l2的斜分率分别为k1,k2.则l1,l2的方程分别为
l1:y?y0?k1(x?x),l:y?02y?0k(x?2且x),k1k2?012.由l1与圆c:(x?2)?y?2相
22切，得
2k1?y0?k1?12k1x0?2，
即 ??x0?(2同理可得 ??x0?(222)??k1??2?2(x20?2(x20y0?k)2?y?0y0?k)2?y?022 20.022)??k2??2. 2022?从而k1,k2是方程?(2?x)?2k?2(2?x)yk?y?2?0的两个实根，于是 0000??2?(2?x0)?2?0,? ? ① 22???8???(2?x0)?y0?2??0,?且k1k2?y0?2(2?x2)?222?2.
22?x0y0??1,?10?16122x?. 5x?8x?36?0.x?2,由?得解得或000025y?210??2??(2?x0)?22由x0??2得y0??3;由x0?185得y0??575575185,它们满足①式，故点Ｐ的坐标为
(?2,3)，或(?2,?3)，或(185,)，或(,?575).
【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问根据条件设出椭圆方程，求出c,a,b即得椭圆E的
方程，第二问设出点P坐标，利用过P点的两条直线斜率之积为
12，得出关于点P坐标的
一个方程，利用点P在椭圆上得出另一方程，联立两个方程得点P坐标. 31.【2012高考湖北文21】（本小题满分14分）
设A是单位圆x2+y2=1上任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足轨迹为曲线C。
（1）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标。
（2）过原点斜率为K的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，且它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m,使得对任意的K>0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由。 21. 【答案】
解：（Ⅰ）如图1，设M(x,y)，A(x0,y0)，则由|DM|?m|DA|(m?0,且m?1)，
可得x?x0，|y|?m|y0|，所以x0?x，|y0|?1m|y|.
当点A在圆上运动时，记点M的
①
因为A点在单位圆上运动，所以x02?y02?1. ② 将①式代入②式即得所求曲线C的方程为x?2ym22?1 (m?0,且m?1).
因为m?(0,1)?(1,??)，所以
当0?m?1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(?1?m2,0)，(1?m2,0)； 当m?1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(0,?m2?1)，(0,m?1).
2
?k?0，（Ⅱ）解法1：如图2、3，设P(x1,kx1)，H(x2,y2)，则Q(?x1,?kx1)，N(0,kx1)，
直线QN的方程为y?2kx?kx1，将其代入椭圆C的方程并整理可得
(m?4k)x?4kx1x?kx1?m?0.
2222222依题意可知此方程的两根为?x1，x2，于是由韦达定理可得
?x1?x2??4kx1m?4k222，即x2?mx1m?4k222.
2kmx1m?4k222因为点H在直线QN上，所以y2?kx1?2kx2?.
2????????于是PQ?(?2x1,?2kx1)，PH?(x2?x1,y2?kx1)?(?????????4(2?m2)k2x21?0而PQ?PH等价于PQ?PH?22m?4k4kx1m?4k22,2kmx1m?4k222).
，
即2?m2?0，又m?0，得m?2， 故存在m?2，使得在其对应的椭圆x?2y22?1上，对任意的k?0，
都有PQ?PH.
y y y H A H N P N P M O D x O xQ
O x