献给可爱的学生—— 暑假学习资料
一 、 高中数学与初中数学特点的变化
1 数学语言在抽象程度上突变。不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很“玄”。确实，初、高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。
2 思维方法向理性层次跃迁。高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解先看什么，再看什么。即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等,分别确定了各自的思维套路。因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。当然，能力的发展是渐进的，不是一朝一夕的。这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡，最后还需初步形成辩证型思维。
3 知识内容的整体数量剧增。高中数学在知识内容的“量”上急剧增加了。例如：高一《代数》第一章就有基本概念52个，数学符号28个；《立体几何》第一章有基本概念37个，基本公理、定理和推论21个；两者合在一起仅基本概念就达89个之多，并集中在高一第一学期学习，形成了概念密集的学习阶段。加之高中一年级第一学期只有七十多课时，辅助练习、消化的课时相应地减少了。使得数学课时吃紧，因而教学进度一般较快，从而增加了教与学的难度。这样，不可避免地造成学生不适应高中数学学习，而影响成绩的提高。这就要求：第一，要做好课后的复习工作，记牢大量的知识。第二，要理解掌握好新旧知识的内在联系，使新知识顺利地同化于原有知识结构之中。第三，因知识教学多以零星积累的方式进行的，当知识信息量过大时，其记忆效果不会很好，因此要学会对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”。如表格化，使知识结构一目了然；类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题同构于同一知识方法。第四，要多做总结、归类，建立主体的知识结构网络。 二、现有初高中数学知识存在以下“脱节”
1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。
2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。
3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。
4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。
5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。
6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。
7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。
8．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。
另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。 三、 初中数学与高中数学衔接紧密的知识点 1 绝对值：
⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
?a(a?0)?⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即a??0(a?0)
??a(a?0)?⑶两个负数比较大小，绝对值大的反而小
⑷两个绝对值不等式:|x|?a(a?0)??a?x?a；|x|?a(a?0)?x??a或x?a 2 乘法公式：
⑴平方差公式：a?b?(a?b)(a?b) ⑵立方差公式：a?b?(a?b)(a?ab?b) ⑶立方和公式：a?b?(a?b)(a?ab?b) ⑷完全平方公式：(a?b)?a?2ab?b，
2223322332222 —2—
(a?b?c)2?a2?b2?c2?2ab?2ac?2bc
⑸完全立方公式：(a?b)?a?3ab?3ab?b 3 分解因式：
⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。 ⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。 4 一元一次方程：
⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。 ⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。 ⑶关于方程ax?b解的讨论 ①当a?0时，方程有唯一解x?33223b； a②当a?0，b?0时，方程无解
③当a?0，b?0时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。 5 二元一次方程组：
（1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
（2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 （3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 （4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。 6 不等式与不等式组 （1）不等式：
①用符不等号（>、≠、<）连接的式子叫不等式。
②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。 ③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。 ④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。 （2）不等式的解集：
①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 ③求不等式解集的过程叫做解不等式。 （3）一元一次不等式：
左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等
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式。
（4）一元一次不等式组：
①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。 ②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。 ③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。 7 一元二次方程：ax?bx?c?0(a?0) ①方程有两个实数根? ??b?4ac?0
22???0?②方程有两根同号? ? cxx??012?a????0?③方程有两根异号? ? cx1x2??0?a?④韦达定理及应用：x1?x2??21222bc,x1x2? aa2?b2?4ac?x?x?(x1?x2)?2x1x2, x1?x2?(x1?x2)?4x1x2? aa322x13?x2?(x1?x2)(x12?x1x2?x2)?(x1?x2)??(x1?x2)?3x1x2??
8 函数
（1）变量：因变量，自变量。
在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。
（2）一次函数：①若两个变量y,x间的关系式可以表示成y?kx?b（b为常数，k不等于0）的形式，则称y是x的一次函数。②当b=0时，称y是x的正比例函数。 （3）一次函数的图象及性质
①把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。
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②正比例函数y=kx的图象是经过原点的一条直线。
③在一次函数中，当k?0， b?O，则经2、3、4象限；当k?0，b?0时，则经1、2、4象限；当k?0， b?0时，则经1、3、4象限；当k?0， b?0时，则经1、2、3象限。
④当k?0时，y的值随x值的增大而增大，当k?0时，y的值随x值的增大而减少。
（4）二次函数：
b24ac?b2b①一般式：y?ax?bx?c?a(x?(a?0)，对称轴是x??)?,
2a4a2a2b4ac?b2（－,)； 顶点是
2a4a②顶点式：y?a(x?m)?k(a?0)，对称轴是x??m,顶点是??m,k?；
2③交点式：y?a(x?x1)(x?x2)(a?0)，其中（x1,0），（x2,0）是抛物线与x轴的交点
（5）二次函数的性质
①函数y?ax?bx?c(a?0)的图象关于直线x??②a?0时，在对称轴 （x??2b对称。 2abb）左侧，y值随x值的增大而减少；在对称轴（x??）2a2a4ac?b2b右侧；y的值随x值的增大而增大。当x??时，y取得最小值
4a2a③a?0时，在对称轴 （x??bb）左侧，y值随x值的增大而增大；在对称轴（x??）2a2a4ac?b2b右侧；y的值随x值的增大而减少。当x??时，y取得最大值
4a2a9 图形的对称
（1）轴对称图形：①如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。②轴对称图形上关于对称轴对称的两点确定的线段
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