则 x＋y＝4， ①
xy＝－12． ②
由①，得 y＝4－x， 代入②，得
x(4－x)＝－12，
即 x－4x－12＝0， ∴x1＝－2，x2＝6． ∴?2
?x1??2,?x2?6, 或?
?y1?6,?y2??2.因此，这两个数是－2和6．
解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x－4x－12＝0 的两个根． 解这个方程，得
x1＝－2，x2＝6．
所以，这两个数是－2和6．
说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简
2
捷．
例5 若x1和x2分别是一元二次方程2x＋5x－3＝0的两根． （1）求| x1－x2|的值； （2）求
3
2
11?的值； 22x1x23
2
（3）x1＋x2．
解：∵x1和x2分别是一元二次方程2x＋5x－3＝0的两根，
∴x1?x2??
53，x1x2??． 222
2
2
2
（1）∵| x1－x2|＝x1+ x2－2 x1x2＝(x1＋x2)－4 x1x2＝(?)?4?(?)
52232 ＝
2549＋6＝， 447． 2 ∴| x1－x2|＝
—36—
（2）
x?x211??x12x22x?x223
3
212125325(?)2?2?(?)?3(x1?x2)?2x1x237224． ????329(x1x2)29(?)2422
2
2
（3）x1＋x2＝(x1＋x2)( x1－x1x2＋x2)＝(x1＋x2)[ ( x1＋x2)－3x1x2]
＝(－
5523215)3[(－)－33(?)]＝－． 2228说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量
的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：
设x1和x2分别是一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0），则
2
?b?b2?4ac?b?b2?4acx1?，x2?，
2a2a?b?b2?4ac?b?b2?4ac2b2?4ac∴| x1－x2|＝ ??2a2a2ab2?4ac?? ?．
|a||a|于是有下面的结论：
若x1和x2分别是一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0），则| x1－x2|＝4ac）．
今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．
例6 若关于x的一元二次方程x－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围．
解：设x1，x2是方程的两根，则
x1x2＝a－4＜0， ① 且Δ＝(－1)－4(a－4)＞0． ② 由①得 a＜4， 17
由②得 a＜ ．
4∴a的取值范围是a＜4． 练 习 1．选择题：
2
22
?2
（其中Δ＝b－|a|—37—
（1）方程x?23kx?3k?0的根的情况是 （ ） （A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根
（C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根
2
22（2）若关于x的方程mx＋ (2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是
（ ） （A）m＜
11 （B）m＞－ 4411，且m≠0 （D）m＞－，且m≠0 4411?＝ ． x1x2 （C）m＜2．填空:
（1）若方程x－3x－1＝0的两根分别是x1和x2，则
2
2
（2）方程mx＋x－2m＝0（m≠0）的根的情况是 ． （3）以－3和1为根的一元二次方程是 ．
3．已知a?8a?16?|b?1|?0，当k取何值时，方程kx＋ax＋b＝0有两个不相等的实数根？
2
24．已知方程x－3x－1＝0的两根为x1和x2，求(x1－3)( x2－3)的值．
习题2.1 A 组
1．选择题:
（1）已知关于x的方程x＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ） （A）－3 （B）3 （C）－2 （D）2 （2）下列四个说法：
①方程x＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7； ②方程x－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7； ③方程3 x－7＝0的两根之和为0，两根之积为?2222
2
2
7； 3④方程3 x＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0．
其中正确说法的个数是 （ ） （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
（3）关于x的一元二次方程ax－5x＋a＋a＝0的一个根是0，则a的值是（ ）
2
2
—38—
（A）0 （B）1 （C）－1 （D）0，或－1
2．填空:
（1）方程kx＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝ ． （2）方程2x－x－4＝0的两根为α，β，则α＋β＝ ． （3）已知关于x的方程x－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ．
（4）方程2x＋2x－1＝0的两根为x1和x2，则| x1－x2|＝ ．
3．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程mx－(2m＋1) x＋1＝0有两个不相等的实数根？
有两个相等的实数根？没有实数根？
4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x－7x－1＝0各根的相反数．
B 组
1．选择题:
2
2
222
2
2
2
2
2
2
若关于x的方程x＋(k－1) x＋k＋1＝0的两根互为相反数，则k的值为
（ ）
（A）1或－1 （B）1 （C）－1 （D）0 2．填空:
（1）若m，n是方程x＋2005x－1＝0的两个实数根，则mn＋mn－mn的值等于 ． （2）如果a，b是方程x＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a＋ab＋ab＋b的值
是 ．
3．已知关于x的方程x－kx－2＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根为x1和x2，如果2(x1＋x2)＞x1x2，求实数k的取值范围． 4．一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x1和x2．求： （1）| x1－x2|和（2）x1＋x2．
5．关于x的方程x＋4x＋m＝0的两根为x1，x2满足| x1－x2|＝2，求实数m的值．
C 组
1．选择题：
（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x－8x＋7＝0的两根，则这个直角三角
形的斜边长等于 （ ）
2
2
3
3
2
2
2
3
2
2
3
2
2
2
x1?x2； 2 —39—
（A）3 （B）3 （C）6 （D）9 （2）若x1，x2是方程2x－4x＋1＝0的两个根，则
2
x1x2?的值为 （ ） x2x1 （A）6 （B）4 （C）3 （D）
2
2
3 2（ ） （3）如果关于x的方程x－2(1－m)x＋m＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为
（A）α＋β≥
11 （B）α＋β≤ （C）α＋β≥1 （D）α＋β≤1 222
（4）已知a，b，c是ΔABC的三边长，那么方程cx＋(a＋b)x＋
c＝0的根的情况是 4（ ）
（A）没有实数根 （B）有两个不相等的实数根 （C）有两个相等的实数根 （D）有两个异号实数根 2．填空：
若方程x－8x＋m＝0的两根为x1，x2，且3x1＋2x2＝18，则m＝ ． 3． 已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx－4kx＋k＋1＝0的两个实数根．
（1）是否存在实数k，使(2x1－x2)( x1－2 x2)＝－
说明理由； （2）求使
2
2
3成立？若存在，求出k的值；若不存在，2x1x2?－2的值为整数的实数k的整数值； x2x1x1，试求?的值． x2（3）若k＝－2，??m2?0． 4．已知关于x的方程x?(m?2)x?42（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；
（2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|＝|x1|＋2，求m的值及相应的x1，x2． 5．若关于x的方程x＋x＋a＝0的一个大于1、零一根小于1，求实数a的取值范围．
2.1 一元二次方程
练习
1． （1）C （2）D
2． （1）－3 （2）有两个不相等的实数根 （3）x＋2x－3＝0 3．k＜4，且k≠0
4．－1 提示：(x1－3)( x2－3)＝x1 x2－3(x1＋x2)＋9
2
2
—40—